Integrale con parametro

[Salvy]

Salve a tutti non riesco a svolgere questo integrale
$ int_(2 )^(+oo) (x^2-4)^-a(2ln(1+sqrtx)-lnx) dx $

Devo trovare a affinché l'integrale converge
Al numeratore però, noto che per $ x-->oo $ ottengo $ 2lnsqrt(x)-lnx $che è uguale a 0.Mi si annulla tutto come posso procedere?

[Mephlip]

Al numeratore però, noto che per $ x-->oo $ ottengo $ 2lnsqrt(x)-lnx $che è uguale a 0.Mi si annulla tutto come posso procedere?

Non è propriamente così: raccogli $\sqrt{x}$ dentro al logaritmo ed applica le proprietà del logaritmo del prodotto.
Avanza un termine che puoi sviluppare con Taylor, sviluppalo.

[Salvy]

Io non lo vedo il termine che avanza, quale dici te?

[Salvy]

A forse ho capito, intendi $1/sqrt(x)$?

[Mephlip]

Sì, esatto. Puoi sviluppare quel logaritmo perché è del tipo $2 \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$, poi ti conviene anche portare $(x^2-4)^{-a}$ al denominatore per ricondurti ad un integrale improprio noto!

Edit: Corretto un numero sbagliato.

[Salvy]

Ho risolto grazie mille