Taylor e polari..

[Reyzet]

Ciao, avrei questo limite da calcolare:

$lim_((x,y) -> (0,0)) (sin(x-y)-(x-y))/(x^2+y^2)^a$

con $a$ reale positivo.

Ora io sono passato a polari e usato Taylor (me lo ricordava molto la forma sint-t) trovando che fa zero per $a<\frac{3}{2}$, è giusto o è una cavolata?

[gugo82]

Beh, per $(x,y) -> (0,0)$ hai certamente che il numeratore è equivalente a $1/6 (x-y)^3$, dunque tutto sta a calcolare il più semplice limite:

$lim_((x,y) -> (0,0)) (x-y)^3/(6(x^2 + y^2)^a)$...

Quindi credo che il risultato sia giusto.

Puoi chiederti, però, anche cosa succede per $a >= 3/2$.

[Reyzet]

Equivalente nel senso asintotico? È una cosa che comunque esce da Taylor no?

Comunque ti ringrazio, era esercizio di esame fatto oggi e non mi capacitavo di perché nel grafico mi sembrasse continua nonostante Wolphram dicesse che il limite non esiste se non per $a<1/2$(cosa che poi era falsa, visto che per $a=1/2$ anche senza Taylor mi converge a 0), non è affidabile a questo punto.

Ho scritto invece che non esiste negli altri casi che hai detto (prendendo le restrizioni alle bisettrici diverge ($a>3/2$) oppure converge a un numero diverso da zero ($a=3/2$) su una ed è identicamente nulla sull'altra).