Esercizio su differenziabilità, piano tangente e derivabilità di una funzione in 2 variabili

[Beppu95]

Buongiorno ragazzi, ieri stavo affrontando lo studio teorico sulla differenziabilità, ma, dopo aver provato un esercizio, mi sono un po' incartato e volevo chiedervi alcune delucidazioni.
il testo dell'esercizio è il seguente:
$ f(x,y)= (e^(x^2-y^2)-1)^(1/2) $
Stabilire se f è differenziabile nel suo insieme di definizione. Determinare, se esiste, il piano tangente al grafico di f nel punto (2,1). Lungo quali direzioni f è derivabile in (0,0)?

Iniziamo col primo punto, ho cercato dovunque la definizione di differenziabilità di una funzione ed è sempre riferita ad un punto ( $ x_0,y_0 $ ) ma qui non ho nessun punto di riferimento. Come mi comporto in questo caso?
Comunque non mi sono arreso e dopo aver fatto le derivate parziali, che valgono:
$ f_x(x,y)=(1/(e^(x^2-y^2)-1)^(1/2)(xe^(x^2-y^2))) $
$ f_y(x,y)=(-1/(e^(x^2-y^2)-1)^(1/2)(ye^(x^2-y^2))) $
ho fatto questa considerazione: l'insieme di f(x,y) vale $ x^2-y^2>=0 $ mentre l'insieme delle derivate vale $ x^2-y^2>0 $ poichè abbiamo un denominatore. Dunque, per dare una risposta precisa alla prima domanda, la funzione NON è differenziabile nel suo insieme di appartenenza ma è differenziabile nell'insieme di appartenenza delle sue derivate, corretto?
Sulla seconda domanda non ho notato nulla di strano poichè il punto (2,1) non dovrebbe avere nessuna particolare "controindicazione" e posso semplicemente applicare la formula $ z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) $
Il terzo punto è quello che mi ha dato più rogne, cosa si intende con "lungo quali direzioni f è derivabile in (0,0)?". Non posso applicare la formula del gradiente poichè avrei $ f_x(0,0) $ ed $ f_y(0,0) $ che non esistono e se provo ad applicare la definizione di derivata direzionale tramite il $ lim_(t=>0) (f(x_0+tcostheta;y_0+tsintheta)-f(x_0,y_0))/t $ , salvo errori (ho svolto l'esercizio a fine di una lunga sessione di studio, perdonate eventuali strafalcioni matematici) ottengo 0. Cosa significa quello 0?
In definitiva i grossi dubbi sono questi:
1) che operazioni e che ragionamenti devo seguire per dimostrare che una funzione è differenziabile in generale, senza che mi sia dato un punto preciso?
2)Non ho capito cosa succede a questa funzione in 0, è giusto dire che se una funzione non ammette derivate continue in un punto allora non è differenziabile in quel punto?
3) cosa si intende per direzioni lungo quali una funzioni è derivabile parzialmente?

[Bokonon]

1) che operazioni e che ragionamenti devo seguire per dimostrare che una funzione è differenziabile in generale, senza che mi sia dato un punto preciso?
2)Non ho capito cosa succede a questa funzione in 0, è giusto dire che se una funzione non ammette derivate continue in un punto allora non è differenziabile in quel punto?
3) cosa si intende per direzioni lungo quali una funzioni è derivabile parzialmente?

Perchè devi avere un punto preciso? La definizione di differenziabilità è per ogni punto appartenente al dominio.
Se è differenziabile in ogni punto allora non c'è problema, no?
Sta a te individuare le eventuali problematiche.
E per farlo devi prima analizzare il dominio e visualizzare cosa significa $x^2-y^2>=0$

[Beppu95]

Scusa ma non ho capito, potresti essere più preciso?