Conclusioni sulla ricerca di punti critici in due variabili

[erroreconcettuale]

Data la funzione

$f(x,y) = x^2y^2-9xy^2+8y^2$

devo trovare i punti di massimo/minimo relativi/assoluti della funzione.

1) trovo che i punti sono $P_1 (a,0)$ e $P_2 (9/2,0)$
2) trovo che, per entrambi i punti, l'Hessiano è $=0$

Dopo aver notato che $P_2$ è dello stesso tipo di $P_1$, procedo con la ricerca locale dei punti.
Pongo:

$ f(x,y) - f(a,0) >=0$
$x^2y^2-9xy^2+8y^2 >=0$
che, raccogliendo:
$y^2(x-8)(x-1)>=0$
e quindi:

- $y^2>=0$
- $x>=8$
- $x>=1$

A questo punto ipotizzo io debba studiare il segno, il problema è che non ho né capito come impostare il grafico dei segni, né che conclusioni ricavarne. Ho guardato più volte la teoria ma ho bisogno di un esempio pratico.

Grazie!

[dissonance]

Insomma, stai dicendo che dopo tutto questo lavoro ti blocchi sulla disequazione
\[
(x-8)(x-1)\ge 0.\]
(Non ho controllato i tuoi conti ma il procedimento mi pare corretto). Questa disequazione è facile da risolvere, sono sicuro che lo sai fare benissimo, hai solo un blocco psicologico causato dall'insicurezza.

Oh, ho dimenticato il fattore $y^2$. Il luogo dei punti con $y=0$ va unito alla soluzione di quella disequazione.

[erroreconcettuale]

No, so fare la disequazione: non ho capito se lo studio del segno va effettuato anche 'nel grafico'.
Prendiamo questo esempio:

$f(x,y) = (y-x^2)(y-2x^2)$, che ha come critico solo $P(0,0)$ ed Hessiano nullo.
Pongo $f(x,y) - f(0,0)>=0$ e quindi $f(x,y)>=0$.

A questo punto punto:
a) $(y-x^2)>=0$ per $y>=x^2$ e quindi $y = +-x$
b) $f(y-2x^2)>=0$ per $y>=2x^2$ e quindi $ y= +- sqrt(2) x$

Quindi, graficamente:

- $y>=-x$ v $y>=x$
- $y>=-sqrt(2)x$ v $y>=sqrt(2)x$

che, mettendo insieme sul "grafico finale" mi da che:
- la parte di piano sopra la parabola $y=2x^2$ è positiva
- la parte di piano compresa tra le due parabole è negativa
- la parte di piano sotto la parabola $y=x^2$ è negativa

e quindi $P(0,0)$ è punto di sella.

È corretto cosi?

[dissonance]

Ci sono delle piccole imprecisioni di scrittura ma è corretto. Si fa così.