Funzione a due variabili come moltiplicazione di due funzioni ad una variabile

[Nosba]

Buongiorno a tutti,

Studiando elaborazione dei segnali, durante una dimostrazione sulla trasformata di Fourier 2D è stato applicato un passaggio in cui una funzione all'interno di un integrale doppio a dominio rettangolare \(\displaystyle f(x,y) \) viene scritta come \(\displaystyle f_x(x) * f_y(y) \). All'interno dell'integrale la cosa non causava nessun problema, poiché in ogni caso si integrava prima su una variabile e poi sull'altra, ma mi ha portato alla domanda:
Esiste un teorema che, magari sotto certe condizioni, una funzione in due variabili può essere scritta come prodotto di due funzioni ad una variabile? e se si qual è questo teorema?

Grazie a tutti in anticipo.

[gugo82]

Scriviamo $x+y$ come prodotto, va...

In generale, la cosa è impossibile da fare e bisogna richiedere che la condizione di “separare le variabili” (come nelle EDO, ricordi?) sia soddisfatta dalla funzione in esame.

[Nosba]

Ok cercando online ho trovato che il metodo di separazione delle variabili è solo quello per gli integrali.
C'è un metodo formale ed algoritmico per decidere se una funzione è a variabili separabili oppure è necessario un'analisi caso per caso?