Funzione Lipschitziana,

[Smon97]

Mi potreste aiutare con questo esercizio?

Trovare l'insieme di definizione di F(x), studiarne la monotonia e stabilire se è lipschitziana nel suo insieme di definizione.

$F(x)= \int_{0}^{sqrt(log(2+arctan^(2) x))} e^(t^2) dt$

Il dominio ho trovato che è $ Dom F(X)= ]0, + oo[$

$F'(x) = (arctanx)/((x^2-1) (2+arctan^2x)(sqrt(log(2+arctan^2x)))) e^(log(2+arctan^2x))$

$F'(X)>0 hArr x>0 $ pertanto per x>0 F(x) è crescente .

- funzione è lipschitziana
per definizione si ha: $|f(x)-f(y)|<= L|x-y| AAx,y inX con LinRR$
è possibile affermare che una funzione è lipschitziana se la sua derivata prima è limitata o è di classe $C^1$.
Come dimostro che è lipschitziana?

[gugo82]

Sicuro del dominio?

La derivata mi pare calcolata bene, a parte un $-$ al posto di un $+$ al denominatore ed un quadrato che manca nell’esponenziale.

è possibile affermare che una funzione è lipschitziana se la sua derivata prima è limitata o è di classe $ C^1 $.
Come dimostro che è lipschitziana?

Ti sei risposto alla domanda nel rigo precedente.

[Smon97]

All' esponenziale avrei la radice elevata al quadrato, quindi ho tolto radice e quadrato.
Il fatto che la derivata prima sia limitata lo devo dimostrare e in caso come? il mio dubbio sta nel fatto di far vedere proprio che la derivata è limitata.
Per quanto riguarda il dominio ho fatto:

$ f(t) = e^(t^2) $
il dominio di f(t) è $RR$
poi ho calcolato quello dell' estremo di integrazione:
$h(x)= sqrt(log(2+arctan^(2)x)) $

il suo dominio è dato dal sistema:
$\{(2+arctan^(2)x >0), (log(2+arctan^2x)>=0) :}$
La soluzione del sistema è $x>0$

Intersecando i due Domini, il dominio di $F(x) = ]0, +oo[$

[gugo82]

All' esponenziale avrei la radice elevata al quadrato, quindi ho tolto radice e quadrato.

Hai ragione.
La radice esterna me l’ero dimenticata.

Il fatto che la derivata prima sia limitata lo devo dimostrare e in caso come? il mio dubbio sta nel fatto di far vedere proprio che la derivata è limitata.

Facendo i conti.
Ricorda che $arctan$ è limitata.

Per quanto riguarda il dominio ho fatto:

$ f(t) = e^(t^2) $
il dominio di f(t) è $RR$
poi ho calcolato quello dell' estremo di integrazione:
$h(x)= sqrt(log(2+arctan^(2)x)) $

il suo dominio è dato dal sistema:
$\{(2+arctan^(2)x >0), (log(2+arctan^2x)>=0) :}$
La soluzione del sistema è $x>0$

La soluzione del sistema non è quella.
Controlla i calcoli.

Intersecando i due Domini, il dominio di $F(x) = ]0, +oo[$

L’intersezione c’entra come il proverbiale cavolo a merenda.
Esempio: come calcoli il dominio di $int_0^(1/2 - arcsin x) sqrt(t) text( d) t$?

[Smon97]

$f(t)= (sqrt(t))$
il suo dominio è $x>0$

per $h(x)= 1/2-arcsinx$
il suo dominio è $-1<=x<= 1$

se non erro il dominio di F(x) intersecando i due domini è $0<x<=1$

[gugo82]

Erri, erri...

Controlla il ragionamento.

[Smon97]

Sbaglio il dominio finale o di h(x)?

[gugo82]

Finale, ovviamente, e proprio per il motivo che di dicevo più sopra.

[Smon97]

dell'integrale che ho scritto io il dominio è: $]-oo, +oo[$ ?

[gugo82]

dell'integrale che ho scritto io il dominio è: $]-oo, +oo[$ ?

Sì, ma detta così sembra che tu stia tirando ad indovinare... Perché il dominio è tutto $RR$?

Qual è il dominio della funzione che ho proposto io?
(I conti sono un po’ brutti, ma che fa...)