serie geometriche per teoria dei giochi

Messaggioda marco_93Direct » 17/01/2019, 22:22

Ciao!
sto affrontando un modello di teoria dei giochi per studi di economia in cui sviluppo la dinamica collusiva di un gioco ripetuto infinite volte attraverso i fattori di sconto $\delta$ di tre giocatori.

supponendo un asta sequenziale di un contratto diviso in due lotti, lotto A e lotto B per ogni periodo $t=0,..., oo$.

i 3 giocatori colludono assegnando un lotto per ciascuno giocatore in questo modo:
in $t=0$ il lotto A al giocatore1 il lotto B al giocatore2, in $t=1$ il lotto A al giocatore3 il lotto B al giocatore1, in $t=2$ il lotto A al giocatore 2 il lotto B al giocatore 3 e cosi via all'infinito.

in particolare ho difficoltà a svolgere la loro serie geometrica: chiamando v il profitto che si ottiene da ciascun lotto, e considerando come esempio il giocatore 1 che prende per primo,

$text(giocatore 1) = v\delta + v\delta + 0 + v\delta^3 + v\delta^4 + 0 + v\delta^6 + v\delta^7 + 0 +...$

qualcuno che mi aiuta please??!
grazie ragazzi

ps: spero che la sintassi latex si apparsa correttamente con $\delta = text(fattore di sconto)$, quindi $v\delta$ è “$v$ moltiplicato $delta$”.
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Re: serie geometriche per teoria dei giochi

Messaggioda gugo82 » 17/01/2019, 23:10

Per prima cosa: sei sicuro che il primo addendo sia $vdelta$? Non è che è $(vdelta)^0=1$?

Per seconda: la serie converge e lo fa assolutamente se $|delta |<1$; ricordato che le serie assolutamente convergenti si possono sommare come meglio si vuole, possiamo associare gli addendi con esponente che diviso per $3$ dà resto $1$ e calcoliamo:

$vdelta + v delta^4 + v delta^7 + ... = v\ sum_(n=0)^(oo) delta^(3n+1) = vdelta\ sum_(n=0)^(oo) (delta^3)^n = (v delta)/(1-delta^3)$

Analogamente si calcola la somma delle altre potenze.
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Re: serie geometriche per teoria dei giochi

Messaggioda marco_93Direct » 17/01/2019, 23:16

ciao gugo82, grazie della tua risposta.
certo il primo addendo è semplicemente v. refuso di testo.
sei stato di grande aiuto! speriamo possa utilizzarla a meglio per far funzionare il tutto!
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Re: serie geometriche per teoria dei giochi

Messaggioda marco_93Direct » 17/01/2019, 23:40

gugo82,

se interpreto correttamente per gli esponenti dispari ho:

v + v\delta^3 + x\delta^6 + ... = v \div (1 -\delta^3)

allora tutta la serie con entrambi gli esponenti pari e dispari è

= v \div (1 -\delta^3) + (v\delta) \div (1 - \delta^3) ????
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Re: serie geometriche per teoria dei giochi

Messaggioda pilloeffe » 17/01/2019, 23:58

Ciao marco_93Direct,

Benvenuto sul forum!

Ci provo... :wink:
Assodato l'errore nel primo termine, supponiamo che sia:

$ text(giocatore 1) = v + v\delta + 0 + v\delta^3 + v\delta^4 + 0 + v\delta^6 + v\delta^7 + 0 + ... = $
$ = v \sum_{n = 0}^{+\infty} \delta^n - v \sum_{n = 1}^{+\infty} \delta^{3n - 1} = \frac{v}{1 - \delta} - v \frac{\delta^2}{1 - \delta^3} = v[\frac{1}{1 - \delta} - \frac{\delta^2}{1 - \delta^3}] = $
$ = v[\frac{1}{1 - \delta} - \frac{\delta^2}{(1 - \delta)(1 +\delta + \delta^2)}] = v[\frac{1 +\delta + \delta^2 - \delta^2}{(1 - \delta)(1 +\delta + \delta^2)}] = $
$ = v \frac{1 + \delta}{(1 - \delta)(1 +\delta + \delta^2)} $

Tutto quanto sopra naturalmente posto che sia $|\delta| < 1 $
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Re: serie geometriche per teoria dei giochi

Messaggioda marco_93Direct » 18/01/2019, 12:38

ciao pilloeffe,
grazie dell'accoglienza.
mi spiegheresti il senso del segno meno tra le due sommatorie?
se distinguiamo gli esponenti pari dai dispari, non avremmo sempre il denominatore = 1 - \delta^3 ?

v + v\delta^3 + v\delta^6 + ... = v (1 + \delta^3 + \delta^6 + ...) = \frac{v} {1 -\delta^3}

v\delta + v\delta^4 + v\delta^7 + ... = v\delta (1 + \delta^3 + \delta^6 +...) = \frac{v\delta}{1-\delta^3}

ps: di nuovo spero di aver usato correttamente la sintassi LaTex
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Re: serie geometriche per teoria dei giochi

Messaggioda gugo82 » 18/01/2019, 13:07

@marco_93Direct: La sintassi è corretta, ma devi racchiudere le formule tra i delimitatori appropriati.
Ad esempio:
Codice:
\( formula \)

produce una formula "in corpo" (cioè nelle righe del testo), mentre:
Codice:
\[ formula \]

una formula "fuori corpo".
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Re: serie geometriche per teoria dei giochi

Messaggioda pilloeffe » 18/01/2019, 13:54

marco_93Direct ha scritto:grazie dell'accoglienza.

Prego! :smt023
marco_93Direct ha scritto:mi spiegheresti il senso del segno meno tra le due sommatorie?

Beh, l'idea era quella di togliere dalla serie geometrica completa i termini "mancanti", cioè quelli con le potenze $2$, $5$, $8$, $11$, ... che sono a distanza $3$ l'uno dall'altro, ecco la ragione del termine $\delta^{3n - 1} $, $ n \in \NN_{> 0} $
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Re: serie geometriche per teoria dei giochi

Messaggioda gugo82 » 18/01/2019, 14:13

Il conto torna anche procedendo con il calcolo nel senso che ti ho indicato io.
Infatti, hai:
\[
v+v\delta^3 +v\delta^6 +\cdots = v\ \sum_{n=0}^{\infty} (\delta^3)^n = v\ \frac{1}{1-\delta^3}\]
dunque la somma della tua serie è:
\[
\frac{v}{1-\delta^3} + \frac{v\delta}{1-\delta^3} = \frac{v (1+\delta)}{1-\delta^3}
\]
:wink:
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