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Difficoltà con serie numeriche

MessaggioInviato: 18/01/2019, 16:43
da Liquid Science
Ho trovato queste due domande ad un tema d'esame di Analisi 1 e non riesco a venirne a capo:
1.) Determinare il carattere della serie $\sum_{n=2}^\infty(-1)^n {37-n^9}/{n^10+n^9-4n^5-10^3}$
In generale, siano $P$ e $Q$ due polinomi tali che il grado di $P$ sia inferiore di 1 al grado di $Q$ e sia $R=P/Q$. Mostrare che per ogni $alpha>0$, esiste $n(alpha)$ tale che ogni termine della serie $\sum_{n=n(alpha)}^\infty(-1)^nR(2+n^{alpha})$ sia definito. Stabilire quindi per quali valori positivi di $alpha$ la serie $S_{alpha}$ risulta 1) convergente; 2) assolutamente convergente
Per studiare la convergenza pensavo di usare il criterio di Leibniz (raccogliendo prima un meno davanti perché $37-n^9$ è negativo) ma ho difficoltà a dimostrare che è una successione positiva e monotona decrescente. Tutta la parte dopo non ho la più pallida idea di cosa vuole perché non riesco a capire cosa intenda con "ogni termine della serie sia definito".

2.) Studiare le serie $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n{(n!)^2}/{n^2(2n)!}$ e $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n{nlog(n)}/{(n+1)^2}$. Per la prima ho studiato la convergenza assoluta perché mi sono accorto che col criterio di Leibniz era più laborioso (ho usato la formula di Stirling e poi confronto asintotico per affermare che convergeva): ha senso fare così? Per la seconda invece ho usato il criterio di Leibniz ma non sono riuscito a dimostrare che è monotona decrescente...

Re: Difficoltà con serie numeriche

MessaggioInviato: 18/01/2019, 16:54
da dissonance
Nella seconda parte, significa che esiste \(n(\alpha)\) tale che per ogni \(n\ge n(\alpha)\) il denominatore non si annulla.

Punto 2) quelle sono serie a termini positivi. Quindi studiare la convergenza assoluta è la stessa cosa che studiare la convergenza semplice. Fai attenzione; questo errore è molto grave, denota che non hai capito la teoria, ad un esame ti costerebbe moltissimi punti.

Re: Difficoltà con serie numeriche

MessaggioInviato: 18/01/2019, 17:10
da Liquid Science
dissonance ha scritto:Nella seconda parte, significa che esiste \(n(\alpha)\) tale che per ogni \(n\ge n(\alpha)\) il denominatore non si annulla.

Punto 2) quelle sono serie a termini positivi. Quindi studiare la convergenza assoluta è la stessa cosa che studiare la convergenza semplice. Fai attenzione; questo errore è molto grave, denota che non hai capito la teoria, ad un esame ti costerebbe moltissimi punti.


ho dimenticato i vari $(-1)^n$

Re: Difficoltà con serie numeriche

MessaggioInviato: 18/01/2019, 17:26
da gugo82
Devi usare Leibniz, ma se ti perdi nella verifica della monotonia con le disequazioni sei morto.
Usa il calcolo differenziale in maniera furba... Visto che i valori assoluti degli addendi sono i valori assunti su $n in NN$ da una funzione razionale, i.e. $R(x) := (37 - x^9)/(x^(10) + x^9 - 4 x^5 + 10^3)$, ti basta verificare che $R$ è definitivamente decrescente intorno a $+oo$.