Intervallo prolungabilità soluzione equazione differenziale.
Inviato: 20/01/2019, 00:33
Buonasera, sono incappato in questo esercizio:
Risolvere l'equazione differenziale:
$ y'=-y/t+2ln(t)y^2 $
$ y(1)=1 $
-Una volta trovata la soluzione discuterne la prolungabilità.
-Stabilire per quali $ y_0 | y(1)=y_0 $ è compreso tra $ (0,\infty) $
Ora io sono arrivato al punto in cui dopo la sostituzione di $ z = 1/y $ risolvo l'equazione differenziale lineare trovando
$ y = 1/(t(c-ln^2(t))) , c = 1 $
Da quanto ho capito dalla teoria, essendo $y(t)=0$ soluzione banale dell'equazione differenziale ed essendoci l'unicità della soluzione per $t=1$ la soluzione del problema di Cauchy non può cambiare di segno.
Detto ciò la mia assunzione è che $ t\in(e,1/e) $
Tuttavia ho molti dubbi su questo mio risultato.
E non ho idea di come risolvere il secondo punto.
Il mio professore non è stato molto chiaro su questa parte del corso e trovo sempre difficile trovare un criterio generale per identificare l'intervallo di prolungabilità. Anche qui sul forum ho trovato solo dei thread che citavano il teorema della scatola(che non è nel programma).
Grazie in anticipo
Risolvere l'equazione differenziale:
$ y'=-y/t+2ln(t)y^2 $
$ y(1)=1 $
-Una volta trovata la soluzione discuterne la prolungabilità.
-Stabilire per quali $ y_0 | y(1)=y_0 $ è compreso tra $ (0,\infty) $
Ora io sono arrivato al punto in cui dopo la sostituzione di $ z = 1/y $ risolvo l'equazione differenziale lineare trovando
$ y = 1/(t(c-ln^2(t))) , c = 1 $
Da quanto ho capito dalla teoria, essendo $y(t)=0$ soluzione banale dell'equazione differenziale ed essendoci l'unicità della soluzione per $t=1$ la soluzione del problema di Cauchy non può cambiare di segno.
Detto ciò la mia assunzione è che $ t\in(e,1/e) $
Tuttavia ho molti dubbi su questo mio risultato.
E non ho idea di come risolvere il secondo punto.
Il mio professore non è stato molto chiaro su questa parte del corso e trovo sempre difficile trovare un criterio generale per identificare l'intervallo di prolungabilità. Anche qui sul forum ho trovato solo dei thread che citavano il teorema della scatola(che non è nel programma).
Grazie in anticipo