calcolare il volume rispetto all'asse x

[cri98]

Grazie ragazzi per le vostre risposte.
ho le idee un pò confuse......

il risultato deve essere $ 425 pi$

Sicuro?

le soluzioni che mi vengono proposte sono 4:
$ [615 pi] $
$ [465 pi] $
$ [425 pi] $
$ [ 325 pi] $

$ 2piint_(-6)^(-1) 2x(x+6)^2 dx =375pi $

non riesco a capire quale è la formula generale che utilizzi.

ragazzi ho bisogno di capire cosa accade con un disegno:
considero la funzione y=2x^2

da qui cosa succede graficamente?
la parabola viene portata sul' asse x=6 è viene fatta ruotare attorno ad essa?

$ V = \pi \int_{c}^{d} [f(Y)]^2 dY $

$f(Y) =2(X+6)^2 $?
dove trovo la$ g(Y)$?

Grazie

[Bokonon]

@Cri98
Fidati di ciò che sto per dirti. Il risultato è $375pi$, probabilmente c'è un refuso di stampa nell'ultima opzione. Puoi sincerartene calcolando entrambi gli integrali che ho proposto (uno col metodo dei gusci cilindrici e il secondo con l'approccio classico di rotazione che volevi utilizzare).
La "formula sintetica" proposta da pilloeffe si applicherebbe (così com'è) solo e unicamente nel caso la $0<=x<=6$.
Ho anche scritto la versione corretta da applicare se non vuoi usare i gusci cilindrici...

Siamo franchi, il fatto è che non conosci i due metodi e per risolvere esercizi come questo è necessario conoscerli e capirne "le idee" che stanno dietro.
Non c'è nulla di "meccanico" in questo esercizio, devi bensì applicare delle idee (e quindi degli strumenti) nel modo corretto in base appunto alla richiesta del problema.

Nel momento in cui avrai studiato i due metodi e ti sarai chiarito cosa fanno, vedrai che tutto ciò che ho scritto sopra ti diverrà chiaro e potrai ricostruire da te i due integrali e infine ti sincererai del fatto che il risultato è $375pi$

[pilloeffe]

ragazzi ho bisogno di capire cosa accade con un disegno: considero la funzione y=2x^2

Dunque, se utilizzi $y = f(x) = 2x^2 $ devi applicare l'altra formula proposta da Bokonon:

$ V = 2\pi \int_a^b |xf(x)| dx $

Se invece vuoi usare quella che hai scritto nell'OP, allora devi preventivamente ricavarti $x = sqrt{y/2} = sqrt{Y/2} $, per cui, dato che $ x = X + 6 $, ne consegue che $X = x - 6 = sqrt{Y/2} - 6 = f(Y) = sqrt{y/2} - 6 = f(y) $. Per la radice è chiaro che occorre prendere quella positiva perché siamo nel piano $y = Y >= 0 $: infatti per $x = 0 $ si ha $y = Y = 0 $, mentre per $x = 5 $ si ha $y = Y = 2\cdot (5)^2 = 2 \cdot 25 = 50 $
Per cui si ha:

$ V = \pi \int_{0}^{50} {[f(Y)]^2 - 1^2} dY = \pi \int_{0}^{50} {[f(y)]^2 - 1} dy = \pi \int_{0}^{50} {[sqrt{y/2} - 6]^2 - 1} dy = 375\pi $

che conferma il risultato che ti ha già scritto Bokonon.

$f(Y) = 2(X+6)^2 $

Scusa eh, ma se è una $f(Y) $ dovrà comparire $Y $ no? Altrimenti è una $f(X) $...

[cri98]

ciao ragazzi,
innanzitutto grazie per le vostre risposte.
$ V = \pi \int_{0}^{50} {[f(Y)]^2 - 1^2} dY = \pi \int_{0}^{50} {[f(y)]^2 - 1} dy = \pi \int_{0}^{50} {[sqrt{y/2} - 6]^2 - 1} dy = 375\pi $
una cosa che non mi è chiara è perchè g(x)=1 non capisco come faccio ad ottenerla
Grazie!

[pilloeffe]

una cosa che non mi è chiara è perchè g(x)=1 non capisco come faccio ad ottenerla

Beh, perché la funzione è definita per $0 <= x <= 5 $, mentre la rotazione avviene intorno all'asse $x = 6 $ quindi occorre sottrarre il cilindro di raggio $1 = 6 - 5 $

[cri98]

una cosa che non mi è chiara è perchè g(x)=1 non capisco come faccio ad ottenerla

Beh, perché la funzione è definita per $ 0 <= x <= 5 $, mentre la rotazione avviene intorno all'asse $ x = 6 $ quindi occorre sottrarre il cilindro di raggio $ 1 = 6 - 5 $

Grazie pilloeffe