01/02/2019, 14:47
Al variare di $ n ∈ N\\{0} $ ed $α ∈ R$ sia $ fn: [0, 1] → R $
data da $ f_n(x) = n^α (1 − x^2)^nx +(sen(nx))/(√n) $ -
Sia $ f $ il limite puntuale di $f_n$, ove esiste finito.
Quale/i delle seguenti affermazioni `e/sono certamente vera/e?
1. $f_n$ converge uniformemente a $f$ su $[0,1] <=> alpha < 1/2$
2. se $alpha <= 0$ allora $f_n$ converge puntualmente a $f$ su $[0,1]$ e $ lim_(n→+∞)int_(0)^(1)f_n(x)
dx =int_(0)^(1)f(x)dx $
02/02/2019, 11:49
03/02/2019, 18:11
05/02/2019, 22:02
Anacleto13 ha scritto:Ciao Hidemet,
Benvenuto sul forum!
Sicuramente hai un pò le idee confuse su come svolgere questi esercizi.
Per quanto riguarda l'integrale, il "penso" vediamolo
Condizione $\alpha\leq0$
$lim_{n\to\infty} \int_0^1 n^{\alpha}(1-x^2)^nx+\frac{sin(nx)}{\sqrt(n)}dx=\frac{n^{alpha}(1-x^2)^{n+1}}{-2(n+1)}\|_0^1-\frac{cos(nx)}{n\sqrt(n)}|_0^1 =0+\frac{n^{\alpha}}{2(n+1)}-0+0$
$\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1}={(\infty if \alpha>1),(1 if \alpha=1),(0 if \alpha<1):}$
Ora valuti se vale quanto detto.
Per quanto riguarda la CU userei le maggiorazioni, liberandomi del seno, studi la derivata prima e trovi il sup.
Troverai sicuramente che il limite dipende dal parametro $\alpha$ e scegliere i valori di $\alpha$ tale per cui il limite fa 0 (definizione di CU).
17/09/2019, 10:50
17/09/2019, 10:59
18/09/2019, 08:56
18/09/2019, 09:49
18/09/2019, 13:20
18/09/2019, 13:30
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