limite da sinistra con forma indetermianta

[Jaeger90]

Salve, stavo provando a svolgere un limite per il calcolo di una funzione ma ritorno sempre al punto di partenza.

$lim_(x->0^-)x^2*e^-(1/x) = 0 * oo$
Ho provato operando con le frazioni
$lim_(x->0^-)x^2*e^-(1/x) = 0 * oo$ = $lim_(x->0^-)x^2*1/(e^(1/x))$ = $lim_(x->0^-)1/(1/x^2)*1/(e^(1/x))$ = $lim_(x->0^-)1/((e^(1/x)/x^2)$

A questo punto per $x->0^-$:
$e^(1/x)->e^-(1/0)->e^-oo->0$
ed
$x^2->0$
e mi ritrovo con una nuova forma indeterminata
$1/(0/0)=0/0$

Come posso tirarmi fuori? Il risultato dovrebbe essere +infinito..
Grazie.

[pilloeffe]

Ciao Jaeger90,

Il risultato dovrebbe essere 0

Mah, io questo non credo (cit. da Crozza/Antonio Razzi)...
Si ha:

$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-1/x} = +\infty $

$\lim_{x \to 0^+} x^2 e^{-1/x} = 0 $

[Jaeger90]

Ciao Jaeger90,

Il risultato dovrebbe essere 0

Mah, io questo non credo (cit. da Crozza/Antonio Razzi)...
Si ha:

$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-1/x} = +\infty $

$\lim_{x \to 0^+} x^2 e^{-1/x} = 0 $

Errore mio, mi son confuso con quello da destra che è diretto.
Quindi come risolvo questo per dare + infinito?

[pilloeffe]

Quindi come risolvo questo per dare + infinito?

Beh, per esempio con la regola di de l'Hôpital:

$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-1/x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-1/x}}{1/x^2} \overset[H]{=} \lim_{x \to 0^-} \frac{(1/x^2)e^{-1/x}}{-2/x^3} = -1/2 \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-1/x}}{1/x} \overset[H]{=} -1/2 \lim_{x \to 0^-} \frac{(1/x^2)e^{-1/x}}{-1/x^2} = $
$ = 1/2 \lim_{x \to 0^-} e^{-1/x} = +\infty $

[Jaeger90]

Perfetto, grazie.
Io tentavo di portare sotto la e esendoci l'esponente negativo, invece che l'x^2 invertito. Così è effettivamente più fattibile. Alla fine credo che sia + infinito perchè è come se fosse il limite per x da destra di -x a livello numerico, nel senso che considero la x come un numero negativo e moltiplicata per l'1 negativo da + infinito.

[dissonance]

@pilloeffe:



https://www.youtube.com/watch?v=QirINjNr-9s

[Jaeger90]

:lol:

https://www.youtube.com/watch?v=QirINjNr-9s

Eh?

[dissonance]

Si riferisce al commento di pilloeffe.

[Jaeger90]

Si riferisce al commento di pilloeffe.

Ci sono altri metodi per risolverlo senza de l'Hopital?

[Mephlip]

Prova a porre $-\frac{1}{x}=y$: hai che
$$\lim_{x \to 0^-} x^2 e^{-\frac{1}{x}}=\lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{y^2}$$