Verifica criterio esistenza ed unicità equazioni differenziali
Inviato: 05/02/2019, 20:14
Buonasera;
sono nuova nel forum, pertanto mi scuso per eventuali imprecisioni.
Il mio quesito riguarda la verifica dei criteri di esistenza ed unicità per equazioni differenziali.
Nello svolgimento di un problema di Cauchy, il mio professore verifica innanzitutto la continuità della funzione, e successivamente la Lipschitzianetà locale.
Si può , in luogo di quest'ultima, verificare semplicemente che la derivata di F(t,y) rispetto ad y sia continua?
Inoltre, se verifico che tali condizioni sono soddisfatte su tutto R, questo implica che R è l'intervallo di definizione massimale?
(Su questo ho seri dubbi)
Se non sono soddisfatte in un punto, cosa si può concludere sul problema?
Ad esempio , considerando in problema di Cauchy :
$ {y' = -ty^3 , y(1) = 1 $
la soluzione è \( y = 1/t \)
definita in \( (0, + \infty ) \)
Tuttavia semplicemente verificando le due condizioni di esistenza ed unicità , esse risultano vere su tutto R.
Qual è dunque il collegamento tra tali condizioni e la risoluzione del problema?
Grazie in anticipo
sono nuova nel forum, pertanto mi scuso per eventuali imprecisioni.
Il mio quesito riguarda la verifica dei criteri di esistenza ed unicità per equazioni differenziali.
Nello svolgimento di un problema di Cauchy, il mio professore verifica innanzitutto la continuità della funzione, e successivamente la Lipschitzianetà locale.
Si può , in luogo di quest'ultima, verificare semplicemente che la derivata di F(t,y) rispetto ad y sia continua?
Inoltre, se verifico che tali condizioni sono soddisfatte su tutto R, questo implica che R è l'intervallo di definizione massimale?
(Su questo ho seri dubbi)
Se non sono soddisfatte in un punto, cosa si può concludere sul problema?
Ad esempio , considerando in problema di Cauchy :
$ {y' = -ty^3 , y(1) = 1 $
la soluzione è \( y = 1/t \)
definita in \( (0, + \infty ) \)
Tuttavia semplicemente verificando le due condizioni di esistenza ed unicità , esse risultano vere su tutto R.
Qual è dunque il collegamento tra tali condizioni e la risoluzione del problema?
Grazie in anticipo