Integrale improprio e convergenza
Inviato: 11/02/2019, 17:29
Salve, ho qualche perplessità sugli integrali impropri.
L'esercizio in esempio mi chiede di stabilire se un integrale è convergente e in caso affermativo di calcolarlo.
Il fatto è, per capire se un integrale è convergente non devo di per se calcolarlo?
$ int_(1)^(+oo) (x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) dx $
Vedo che la funzione è continua in $R$ e quindi anche nell'intervallo chiuso di integrazione.
Mi rimando alla funzione più semplice $1/x^2$ facendo l'equivalenza asintotica
$(x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) = (x2*sqrt(1+1/x^2)) /(x^4*(1+2/x^2+1/x^4)) ~~_(x->+oo) 1/x^2 $
E quindi studio ora l'integrale improprio di questa nuova funzione equivalente
$lim_(M->+oo) int_(1)^(M) 1/x^2 dx = lim_(M->+oo) (-1/M+1) = 1$
A questo punto non ho quindi finito e posso dire che l'integrale di partenza è convergente e converge a 1?
Invece sul testo delle soluzioni dice prima che l'integrale di seconda specie converge perché $1/x^2$ è infinitesima e poi fa delle sostituzioni con $x^2+1=t^2$ e alla fine dice che l'integrale da come risultato $1/sqrt(2)$
L'esercizio in esempio mi chiede di stabilire se un integrale è convergente e in caso affermativo di calcolarlo.
Il fatto è, per capire se un integrale è convergente non devo di per se calcolarlo?
$ int_(1)^(+oo) (x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) dx $
Vedo che la funzione è continua in $R$ e quindi anche nell'intervallo chiuso di integrazione.
Mi rimando alla funzione più semplice $1/x^2$ facendo l'equivalenza asintotica
$(x*sqrt(x^2+1)) /(x^4+2x^2+1) = (x2*sqrt(1+1/x^2)) /(x^4*(1+2/x^2+1/x^4)) ~~_(x->+oo) 1/x^2 $
E quindi studio ora l'integrale improprio di questa nuova funzione equivalente
$lim_(M->+oo) int_(1)^(M) 1/x^2 dx = lim_(M->+oo) (-1/M+1) = 1$
A questo punto non ho quindi finito e posso dire che l'integrale di partenza è convergente e converge a 1?
Invece sul testo delle soluzioni dice prima che l'integrale di seconda specie converge perché $1/x^2$ è infinitesima e poi fa delle sostituzioni con $x^2+1=t^2$ e alla fine dice che l'integrale da come risultato $1/sqrt(2)$