Equazioni differenziali con sviluppo in serie

Buonasera a tutti, scrivo per chiedere dei chiarimenti in merito alle equazioni differenziali risolvibili con lo sviluppo in serie di potenze; In particolare ho difficoltà a risolvere problemi di Cauchy di questo tipo:

$ { ( y'+ (2xy)/(1-x^2) = 1+x^2 ),( y(0)=1 ):} $

Non riuscendo a seguire le lezioni di analisi 2 per motivi lavorativi, ho provato a comprendere da solo questo genere di esercizi seguendo alcuni esempi presenti in questo forum e altre guide trovate su internet e sono riuscito (bene o male) a comprendere come si applichi tale metodo alle equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, ma non capisco come procedere in questo caso. Qualcuno, gentilmente, è in grado di aiutarmi spiegandomi tramite la risoluzione dell'esercizio che vi ho proposto come procedere?
Grazie davvero.

Ps so che esistono altri metodi risolutivi e sono, fortunamente, in grado di applicarli tutti, solo che per l'esame ho bisogno di svolgerlo così e non so davvero come fare

Quello delle serie di potenze, anche detto metodo di Frobenius, se non viene applicato con le dovute cautele può portare ad una mole di calcoli imbarazzante... Il tuo caso non fa eccezione.
Ora vediamo come gestire i conti.

L’idea è supporre che la soluzione $y(x)$ del p.d.C. sia una funzione analitica (cioè sviluppabile in serie di potenze) intorno al punto iniziale $0$; ciò si può giustificare notando che le funzioni (coefficienti) che intervengono nella EDO sono tutte analitiche intorno a $0$ e che la regolarità dei coefficienti della EDO si riflette automaticamente sulle sue soluzioni.
Supponiamo allora che:
\[
y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n
\]
per una successione di coefficienti $(a_n)$.
Visto che il dominio dei coefficienti della EDO è $RR \setminus \{ +-1\}$ e che il punto iniziale $0$ è nell’intervallo $]-1,1[$, possiamo affermare che il raggio di convergenza della serie deve essere $<=1$; inoltre, vista la condizione iniziale $y(0) = 1$, deve essere $a_0 = 1$.
Per capire come vanno scelti i rimanenti coefficienti della serie, dobbiamo sfruttare la EDO. Se la tenessimo così com’è, cioè con la frazione algebrica al suo posto, dovremmo sviluppare un prodotto tra due serie di potenze... E non è proprio il caso.
Per semplificare l’algebra, prendiamo il denominatore comune e riscriviamo la EDO come:
\[
(1 - x^2)\ y^\prime (x) +2x\ y(x) = 1 - x^4\; ;
\]
a questo punto, sostituiamo:
\[
\begin{split}
y(x) &= 1 + \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \\
y^\prime (x) &= \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
\end{split}
\]
nella EDO ed otteniamo:
\[
(1 - x^2)\ \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} +2x\ \left( 1 + \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \right) = 1 - x^4
\]
nella quale si può fare un po’ di algebra (isolare termini, fondamentalmente) ed ottenere:
\[
a_1 + (2a_2 + 2) x + (3a_3 + a_1) x^2 + 4a_4 x^3 + (5a_5 - a_3) x^4 + \sum_{m=5}^\infty \Big[ (m+1) a_{m+1} - (m-3) a_{m-1}\Big] x^m = 1 - x^4
\]
(se non ho sbagliato i conti… Controllali!).
Dalla precedente e dall’unicità dello sviluppo in serie di potenze si trae il sistema:
\[
\begin{cases}
a_1 = 1 \\
2a_2 + 2 = 0 \\
3a_3 + a_1 = 0 \\
4a_4 = 0 \\
5a_5 - a_3 = -1 \\
(m+1) a_{m+1} - (m-3) a_{m-1} = 0 &\text{, per ogni } m \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
dal quale si possono ricavare i coefficienti $a_m$ con un po’ di inventiva.

Quello delle serie di potenze, anche detto metodo di Frobenius, se non viene applicato con le dovute cautele può portare ad una mole di calcoli imbarazzante... Il tuo caso non fa eccezione.
Ora vediamo come gestire i conti.

L’idea è supporre che la soluzione $y(x)$ del p.d.C. sia una funzione analitica (cioè sviluppabile in serie di potenze) intorno al punto iniziale $0$; ciò si può giustificare notando che le funzioni (coefficienti) che intervengono nella EDO sono tutte analitiche intorno a $0$ e che la regolarità dei coefficienti della EDO si riflette automaticamente sulle sue soluzioni.
Supponiamo allora che:
\[
y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n
\]
per una successione di coefficienti $(a_n)$.
Visto che il dominio dei coefficienti della EDO è $RR \setminus \{ +-1\}$ e che il punto iniziale $0$ è nell’intervallo $]-1,1[$, possiamo affermare che il raggio di convergenza della serie deve essere $<=1$; inoltre, vista la condizione iniziale $y(0) = 1$, deve essere $a_0 = 1$.
Per capire come vanno scelti i rimanenti coefficienti della serie, dobbiamo sfruttare la EDO. Se la tenessimo così com’è, cioè con la frazione algebrica al suo posto, dovremmo sviluppare un prodotto tra due serie di potenze... E non è proprio il caso.
Per semplificare l’algebra, prendiamo il denominatore comune e riscriviamo la EDO come:
\[
(1 - x^2)\ y^\prime (x) +2x\ y(x) = 1 - x^4\; ;
\]
a questo punto, sostituiamo:
\[
\begin{split}
y(x) &= 1 + \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \\
y^\prime (x) &= \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}
\end{split}
\]
nella EDO ed otteniamo:
\[
(1 - x^2)\ \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1} +2x\ \left( 1 + \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \right) = 1 - x^4
\]
nella quale si può fare un po’ di algebra (isolare termini, fondamentalmente) ed ottenere:
\[
a_1 + (2a_2 + 2) x + (3a_3 + a_1) x^2 + 4a_4 x^3 + (5a_5 - a_3) x^4 + \sum_{m=5}^\infty \Big[ (m+1) a_{m+1} - (m-3) a_{m-1}\Big] x^m = 1 - x^4
\]
(se non ho sbagliato i conti… Controllali!).
Dalla precedente e dall’unicità dello sviluppo in serie di potenze si trae il sistema:
\[
\begin{cases}
a_1 = 1 \\
2a_2 + 2 = 0 \\
3a_3 + a_1 = 0 \\
4a_4 = 0 \\
5a_5 - a_3 = -1 \\
(m+1) a_{m+1} - (m-3) a_{m-1} = 0 &\text{, per ogni } m \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
dal quale si possono ricavare i coefficienti $a_m$ con un po’ di inventiva.

Grazie mille! Davvero chiaro e gentilissimo