Aiuto con questo limite

Ciao a tutti, ringrazio in anticipo chi potrà aiutarmi con la risoluzione di questo limite.
Ho difficoltà a capire cosa fare in presenza di radici al numeratore, ho questo limite che non riesco a risolvere:

$(sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5)) / (2x + 5)$

come dovrei comportarmi?

Che strumenti conosci per la risoluzione di limiti? Limiti notevoli? De L'Hôpital? Taylor?
Comunque in questi casi l'approccio standard è raccogliere i termini "dominanti" dentro alle radici ed applicare le proprietà delle potenze (facendo moltissima attenzione).

Ciao Salvo9595,

Benvenuto sul forum!

Ciao a tutti, ringrazio in anticipo chi potrà aiutarmi con la risoluzione di questo limite.

Innanzitutto non vedo alcun limite...
Poi, ammesso che tu ti sia dimenticato di scrivere $lim $, non è neanche specificato, almeno a parole, a cosa tende $ x $...

Innanzitutto non vedo alcun limite...

Ma sarà tendente ad $\infty$ modalità nasconde pietosamente il fatto di non aver visto la mancanza del limite

modalità nasconde pietosamente il fatto di non aver visto la mancanza del limite

Allora supponiamo che l'OP intendesse proporre il limite seguente:

$\lim_{x \to +\infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) $

Dato poi che ha senso anche calcolarsi il $\lim_{x \to -\infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) $, li possiamo risolvere tutti e due, che ha anche una maggiore valenza didattica:

$\lim_{x \to +\infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))(sqrt(4x^2 + 4) + sqrt(x^2 - 5))}{(sqrt(4x^2 + 4) + sqrt(x^2 - 5))(2x + 5)} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 + 4 - x^2 + 5}{|x|(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x + 5)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 9}{|x|(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x + 5)} $

Ora, siccome $x \to +\infty $ siamo ragionevolmente sicuri che sia positivo, per cui possiamo omettere il modulo e scrivere:

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 9}{x(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x + 5)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 9}{(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x^2 + 5x)} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 9/x^2}{(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2 + 5/x)} = \frac{3}{(sqrt(4) + sqrt(1))(2)} = 1/2 $

Naturalmente se invece $x \to -\infty $ al posto di $|x| $ si dovrà scrivere $- x $ e quindi si otterrà $- 1/2 $
In definitiva si ha:

$ \lim_{x \to \pm \infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) = \pm 1/2 $

con ovvio significato dei simboli.