Re: Equivalenza norme in R^n

Messaggioda 3m0o » 11/03/2019, 18:19

Ho fatto così, essenzialmente seguendo la dimostrazione del link, ma nel punto 3. non sono minimamente sicuro.
1.
Sia \(\mathcal{B}=\{ e_1, \ldots, e_n \} \) una base di \( \mathbb{R}^n \) allora abbiamo che \( \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \), \( \mathbf{x}= \sum\limits_{k=1}^{n} x_k e_k \)
In più poniamo \(M= \max_{1 \leq k \leq n} N(e_k) \in \mathbb{R} \),
Sappiamo che \( N\) è una norma dunque
-\(
N(\mathbf{x}) \geq 0
\), per tutti gli \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\). Dunque \( \begin{vmatrix}
N(\mathbf{x})
\end{vmatrix}=N(\mathbf{x}) \), per tutti gli \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \)
- \( N(\lambda \mathbf{x}) = \begin{vmatrix}
\lambda
\end{vmatrix} N(\mathbf{x}) \), per tutti i \( \lambda \in \mathbb{R} \) e per tutti gli \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \).
-Per finire abbiamo \(N(\mathbf{x}+ \mathbf{y}) \leq N(\mathbf{x})+N(\mathbf{y}) \), per tutti gli \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n \).
Dunque
ponendo \(\delta = \frac{\epsilon}{M\sqrt{n}} \) abbiamo che \( N\) è continua in zero, infatti:

se \( \begin{Vmatrix}
\mathbf{x}
\end{Vmatrix} \leq \delta \Rightarrow \begin{pmatrix}
\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2
\end{pmatrix}^{1/2} \leq \delta \) allora

\( \begin{vmatrix}
N(\mathbf{x})
\end{vmatrix}=N(\mathbf{x})=N(\sum\limits_{k=1}^{n} x_k e_k)\leq \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{vmatrix}
x_k
\end{vmatrix} N(e_k) \leq M \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{vmatrix}
x_k
\end{vmatrix} \), et per Cauchy-Schwarz otteniamo

\( M \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{vmatrix}
x_k
\end{vmatrix} \leq M\sqrt{n} \begin{pmatrix}
\sum\limits_{k=1}^{n} x_k^2
\end{pmatrix}^{1/2} \leq \delta M\sqrt{n} = \epsilon \)

Dunque in conclusione
\( \forall \epsilon >0, \exists \delta= \frac{\epsilon}{M\sqrt{n}} \) tel que \( \begin{Vmatrix}
\mathbf{x}
\end{Vmatrix} \leq \delta \Rightarrow \begin{vmatrix}
N(\mathbf{x})
\end{vmatrix} \leq \epsilon \)

2. La stessa scelta di \(\delta \) che nel punto 1. è valida per la continuità in \( \mathbb{R}^n \) infatti


si \( \begin{Vmatrix}
\mathbf{x}-\mathbf{y}
\end{Vmatrix} \leq \delta = \frac{\epsilon}{M\sqrt{n}}\) allora

\( \begin{vmatrix}
N(\mathbf{x})-N(\mathbf{y})
\end{vmatrix}\leq N(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \) e per il punto 1. concludiamo, infatti rinominando \( (\mathbf{x} - \mathbf{y}) := \mathbf{z} \in \mathbb{R}^n \) abbiamo che se \( \begin{Vmatrix}
\mathbf{z}
\end{Vmatrix} \leq \delta \) allora \( \begin{vmatrix}
N(\mathbf{z})
\end{vmatrix} \leq \epsilon \)

3. Per il punto 1. deduciamo che \( N\) ee la norma euclidea sono equivalenti visto che:

\( \frac{1}{M \sqrt{n}} \begin{Vmatrix}
\mathbf{x}
\end{Vmatrix} \leq N(\mathbf{x}) \leq M \sqrt{n} \begin{Vmatrix}
\mathbf{x}
\end{Vmatrix} \), per tutti gli \(
\mathbf{x}
\in \mathbb{R}^n \)


4. Per la scelta arbitraria di \( N\) su \(\mathbb{R}^n \) nei punti 1. 2. et 3. abbiamo che le norme \( N_1\) e \( N_2\) su \(\mathbb{R}^n \) sono equivalenti alla norma euclidea, dunque

\( \exists c_{N_1}, \bar{c}_{N_1},c_{N_2}, \bar{c}_{N_2}>0 \) tale che \( \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) abbiamo che
\[ c_{N_1} \begin{Vmatrix} \mathbf{x} \end{Vmatrix} \leq N_1(\mathbf{x}) \leq \bar{c}_{N_1} \begin{Vmatrix} \mathbf{x} \end{Vmatrix} \]
e
\[ c_{N_2} N_2(\mathbf{x}) \leq \begin{Vmatrix} \mathbf{x} \end{Vmatrix} \leq \bar{c}_{N_2} N_2(\mathbf{x}) \]
Dunque
\[c_{N_1} c_{N_2} N_2(\mathbf{x}) \leq N_1(\mathbf{x}) \leq \bar{c}_{N_1} \bar{c}_{N_2} N_2(\mathbf{x}) \]
Ponendo \( c:= c_{N_1} c_{N_2}\) e \( \bar{c} :=\bar{c}_{N_1} \bar{c}_{N_2} \) abbiamo
\(\exists c,\bar{c} >0 \), tale che \( \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\) abbiamo
\[ c N_2(\mathbf{x}) \leq N_1(\mathbf{x}) \leq \bar{c} N_2(\mathbf{x}) \]
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Re: Equivalenza norme in R^n

Messaggioda otta96 » 11/03/2019, 19:00

Scusa la domanda ma a che anno sei dell'università?
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Re: Equivalenza norme in R^n

Messaggioda 3m0o » 11/03/2019, 20:33

otta96 ha scritto:Scusa la domanda ma a che anno sei dell'università?

Primo
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Re: Equivalenza norme in R^n

Messaggioda otta96 » 11/03/2019, 20:36

Accidenti, e fai esercizi di questo livello? Ma sono cose che ti danno da fare o le cerchi te perché ti piacciono gli esercizi difficili?
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Re: Equivalenza norme in R^n

Messaggioda 3m0o » 11/03/2019, 20:42

otta96 ha scritto:Accidenti, e fai esercizi di questo livello? Ma sono cose che ti danno da fare o le cerchi te perché ti piacciono gli esercizi difficili?

Sono esercizi che ci danno settimanalmente e che possiamo consegnare, (EDIT -->) ma di cui non avremo le soluzioni, per questo ci spingono a consegnarli per mettere a posto il modo in cui facciamo la redazione di un problema.
Ultima modifica di 3m0o il 11/03/2019, 21:25, modificato 2 volte in totale.
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Re: Equivalenza norme in R^n

Messaggioda dissonance » 11/03/2019, 21:16

Il tuo svolgimento va bene.
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Re: Equivalenza norme in R^n

Messaggioda dissonance » 18/03/2019, 18:35

3m0o ha scritto:ci spingono a consegnarli per mettere a posto il modo in cui facciamo la redazione di un problema.

Devo dire che mi sembra un eccellente corso di studi. A parte tutte le considerazioni di matematica, c'è l'aspetto redazionale; io al primo anno non sapevo mica scrivere come te. Tanto per cominciare non avevo idea di cosa fosse LaTeX...

Continua così e tieni duro
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