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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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Re: esercizio serie

16/03/2019, 00:33

Se pensi al processo di costruzione di quella somma il fatto che ci sia $(1)^n$ o meno è irrilevante

cioè devi fare

$1*(1)^1+4*(1)^2+9*(1)^3+...+n^2*(1)^n=1+4+9+...+n^2$

Re: esercizio serie

16/03/2019, 11:52

Ciao lepre561,

... D'altronde non è difficile dimostrare per induzione o con altri metodi che si ha:

\begin{equation*}
\boxed{1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n \cdot (n + 1)(2n + 1)}{6}}
\end{equation*}

Quindi si ha:

$ \lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{+\infty} k^2 = \lim_{n \to +\infty} \frac{n \cdot (n + 1)(2n + 1)}{6} = +\infty $

Re: esercizio serie

16/03/2019, 14:08

C'era un modo per dimostrarlo con le piramidine di regoli. Se mi torna in mente lo posto.

Re: esercizio serie

16/03/2019, 16:15

sempre senz aprire altri post siccome l'argomento è sempre quello avrei due dubbi uno riguarda un esercizio mentre un altro un criterio di convergenza

$\sum_{k=1}^inftyk/(2^k+1)(x+2)^k$

applicando d'alambert ottengo $lim_(ktoinfty)((k+1)/(2^(k+1)+1))*((2^k+1)/k)$


a questo punto però il mio dubbio è questo ovvero questo passaggio è lecito $lim_(xtoinfty)((k+1)/k)*(2^k+1)/(2^k*2+1)$

arrivato a questo punto la prima frazione raccogliendo $k$ sia al numeratore che al denominatore mi viene 1 mentre nella seconda frazione posso raccogliere $2^k$ e cosi facendo mi rimane che il mio raggio di convergenza è $1/2$?



il mio secondo dubbio è se io applico il criterio di d'alambert e mi risulta che il raggio è 0 ma il mio punto iniziale non è zero cosa posso dire su quella serie?

Re: esercizio serie

16/03/2019, 16:49

:shock:

A me risulta che la serie proposta converga per $|x + 2| < 2 $, pertanto il raggio di convergenza è $R = 2 = 1/(1/2) $... :wink:

Re: esercizio serie

16/03/2019, 17:06

si ok che il risultato venisse c'ero ma è il procedimento intrinseco che non so se sia fattibile o è sbagliato

Re: esercizio serie

16/03/2019, 17:23

lepre561 ha scritto:si ok che il risultato venisse c'ero ma è il procedimento intrinseco che non so se sia fattibile o è sbagliato

Ma non mi pare, guarda cosa hai scritto qui:
lepre561 ha scritto:e cosi facendo mi rimane che il mio raggio di convergenza è $1/2 $

Ricorda che si ha:

$R = {( +\infty \text{ se } l = 0),(1/l \text{ se } 0 < l < +\infty),(0 \text{ se } l=+\infty):}$

Poi:
lepre561 ha scritto:il mio secondo dubbio è se io applico il criterio di d'alambert e mi risulta che il raggio è 0 ma il mio punto iniziale non è zero cosa posso dire su quella serie?

Cosa c'entra il punto iniziale $x_0 = - 2 $ (nel caso in esame) col raggio di convergenza della serie?
Chiaramente se $x = - 2 $ la serie converge a $0$, ma non è un caso molto interessante... :wink:

Re: esercizio serie

17/03/2019, 12:01

allora mi sono reoco conto di aver sbagliato a dire raggio di convergenza $1/2$ intendevo $L$


per la seconda domanda se applicando d'alambert mi sarebbe venuto $r=0$ cosa posso dire sulla serie? io so che converge per ogni $x=0$

sbaglio?

Re: esercizio serie

17/03/2019, 12:01

allora mi sono reso conto di aver sbagliato a dire raggio di convergenza $1/2$ intendevo $L$


per la seconda domanda se applicando d'alambert mi sarebbe venuto $r=0$ cosa posso dire sulla serie? io so che converge per ogni $x=0$

sbaglio?

Re: esercizio serie

17/03/2019, 12:46

Innanzitutto perché hai scritto due volte lo stesso messaggio? Cancellane uno se riesci... :wink:
lepre561 ha scritto:per la seconda domanda se applicando d'alambert mi fosse venuto $r=0 $ cosa posso dire sulla serie?

Credo che dovresti ridare un'occhiata alla teoria. Il cerchio di convergenza di una serie di potenze è la zona dove la serie converge. Se il raggio di tale cerchio è nullo, significa che la serie converge solo in $x_0 $
lepre561 ha scritto:io so che converge per ogni $x = 0 $
sbaglio?

Sì. Cosa significa per ogni $ x = 0 $? Se è "per ogni", $x = 0 $ è uno dei valori del "per ogni", altrimenti $x = 0 $ è un valore preciso e non è "per ogni": le parole hanno un significato preciso, soprattutto in matematica... :wink:
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