Devo dimostrare che
$ lim_(N -> \infty) E[(1/2sum_(k =1)^(N)F_(WW_k)[(DeltaW)^2-Deltat] )^2]->1/2\int_(0)^(T)E[((partial ^2F)/(partialW^2))^2]dt $
dove:
- $ Deltat:=t_k-t_(k-1) $;
- $ DeltaW:=W_(t_k)-W_(t_(k-1))~ N(0,Deltat) $ (incrementi indipendenti);
- $ DeltaF_k:=F(t_k,W_(t_k))-F(t_(k-1),W_(t_(k-1))) $ ;
- $ sum_(k=1)^(N) DeltaF_k=F_tDeltat+sum_(k=1)^(N)F_(W_k)DeltaW+1/2sum_(k=1)^(N)F_(WW_k)(DeltaW)^2+... $.
Inoltre so che $ E[(DeltaW)^2]~~ Deltat $.
Onestamente non so proprio come fare. So bene che da regolamento dovrei proporre un mio tentativo di soluzione, ma ho proprio le idee confuse quindi vedrò di limitarmi a trascrivere il ragionamento fatto dal docente a lezione. Dopo aver spezzato il valore atteso al quadrato nel prodotto di sè stesso e aver di conseguenza cambiato gli indici di sommatoria (i primi in $k$ e i secondi in $h$) afferma che per $k!=h$:
$ E[(f_kDeltaW_k)(f_hDeltaW_h)]=E[E[f_kDeltaW_k\cdotf_hDeltaW_h|W_s,s<=t_(k-1)]]=E[f_kf_h]E[DeltaW_kDeltaW_hW_s,s<= t] $
da cui conclude che "sopravvivono" solo i termini per $k=h$. Già qui... Il buio.
Ma proseguiamo.
Accorpando i due segni di sommatoria in un'unica sommatoria per $k$ ottiene $1/4sum_(k =1)^(N)E[(F_(WW_k)((DeltaW)^2-Deltat))^2] $ da cui conclude subito che questa quantità, per $N->\infty$ converge a $ 1/4 2Deltat\int_(0)^(T)E[((partial^2F)/(partialW^2))^2]dt $. Qui proprio tabula rasa. Citando testualmente… "dalle vostre reminiscenze di matematica e statistica dovreste essere in grado di dimostrare che..."
Spero quindi in un vostro aiuto! Qualsiasi intervento mi sarà davvero prezioso!
Grazie mille in anticipo a tutti!
