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serie di potenze

17/03/2019, 14:31

$\sum_{k=1}^infty( k!)/(6^k+2)*x^k$

Applicando D'alambert

$lim_(kto+infty)|(k!(k+1))/((6^k*6)+2)(6^k+2)/(k!)|$

$lim_(kto+infty)|((k+1)(6^k+2))/((6^k*6)+2)|$


a questo punto raccogliendo sia sopra che sotto $6^k$ mi rimane $(k+1)/6$


dunque siccome $L=+infty$ il mio $r=0$

io direi che questa serie converge ma su wolfhram mi dice che non converge dove sbaglio?

Re: serie di potenze

17/03/2019, 15:57

Ciao lepre561,
lepre561 ha scritto:[...] io direi che questa serie converge [...]

Beh, dato che $r = 0 $ la serie proposta converge a $0$ solo in $x = x_0 = 0 $... :wink:
Ti rinnovo il consiglio che ti ho già dato in precedenza di andarti a rivedere la teoria delle serie di potenze, perché dalle domande che poni è evidente che non l'hai assimilata.

Re: serie di potenze

17/03/2019, 16:29

allora ringrazio per la risposta e accetto il consiglio...però avrei due dubbi non legati alla teoria delle serie di potenze ma bensi alla risoluzione del limite...

Come ho impostato io va bene ti trovi che viene cosi? chiedo perchè siccome su wolfram mi dice che la serie non converge credo di aver sbagliato...

Re: serie di potenze

17/03/2019, 18:44

lepre561 ha scritto:Come ho impostato io va bene ti trovi che viene cosi? chiedo perchè siccome su wolfram mi dice che la serie non converge credo di aver sbagliato...

Certo che mi trovo. Probabilmente WolframAlpha intende che non converge $\AA x \ne 0 $, il che è vero, probabilmente perché il caso $x = 0 $ è di scarso interesse. D'altronde puoi verificare facilmente tu stesso che assumendo $x = x_0 = 0 $ la serie proposta converge a $0 $: si tratta dell'unico caso di convergenza, in tutti gli altri casi la serie proposta non converge.

Re: serie di potenze

17/03/2019, 20:12

taglio la testa al toro...mostro i passaggi perchè non sono convinto di quel che ho fatto

$lim_(ktoinfty)(6^k(1+(2/6^k))*(k+1))/(6*6^k(1+(2/6^k))$

$lim_(ktoinfty)((k+1)/6)$

tutto questo è lecito?

Re: serie di potenze

17/03/2019, 20:19

lepre561 ha scritto:tutto questo è lecito?

No, perché come spesso ti capita di fare passi al limite "a rate" e dovresti ormai aver capito che non va bene... :wink:
Però è vero che il risultato di quel limite è $+\infty $ e quindi il raggio di convergenza della serie proposta è $r = 0 $.

Re: serie di potenze

17/03/2019, 20:44

e come dovrei fare raccogliere anche il k?

Re: serie di potenze

17/03/2019, 21:01

lepre561 ha scritto:e come dovrei fare raccogliere anche il k?

:shock:
Molto semplicemente così:

$ \lim_{k \to +\infty} |(k!(k+1))/(6 \cdot 6^k + 2)(6^k+2)/(k!)| = \lim_{k \to +\infty} ((6^k+2)(k+1))/(6 \cdot 6^k +2) = lim_{k \to +\infty}((1+2/6^k)(k+1))/(6+2/6^k) = +\infty $

Re: serie di potenze

17/03/2019, 21:07

non ho capito l'ultimo passaggio non è uguale al mio? il $6^k$ dove finisce?

Re: serie di potenze

17/03/2019, 22:21

lepre561 ha scritto:non ho capito l'ultimo passaggio non è uguale al mio?

No. L'ultimo passaggio si interpreta così: per $k \to +\infty $ il primo fattore a numeratore vale $1$ ed il secondo $\+infty $ quindi il numeratore nel complesso risulta $+\infty $; il denominatore invece vale $6 $, quindi nel complesso il limite risulta $+\infty $. Tu invece hai scritto

lepre561 ha scritto:$ lim_(k \to \infty)((k+1)/6) $


che non va bene, perché significa che sei passato al limite per il primo fattore a numeratore, ma non per il secondo, e per quello a denominatore: questo configura il passaggio al limite "a rate" di cui ti ho scritto in un mio post precedente.
lepre561 ha scritto:il $6^k $ dove finisce?

Finisce semplificato... :wink:
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