Funzione differenziabile

[3m0o]

Avrei bisogno una mano per il punto 2, sulla differenziabilità di \(h\) in \(\mathbf{x}_0\)
Sia \( U \subset \mathbb{R}^n \) un aperto, non vuoto e \(W(U,\mathbb{R}^n) \) lo spazio di funzioni definite da \(U \) in \(\mathbb{R}^n \) e differenziabili in tutti i punti di \(U\).
1) Dimostrare che \(W \) è uno spazio vettoriale
2) Siano \(f,g: U \rightarrow \mathbb{R} \) differenziabili in \(\mathbf{x}_0 \in U \). Dimostrare che \(h:=fg \) è differenziabile in \(\mathbf{x}_0\) e che abbiamo
\[\operatorname{D}h(\mathbf{x}_0)=f(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}f(\mathbf{x}_0) \]

2. Siano \( f,g,h\) come nell'enunciato allora abbiamo che per definizione
\[ \operatorname{D}h(\mathbf{x}_0)=\begin{pmatrix}
\frac{\partial h}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, \frac{\partial h}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} \]
Sia dunque \( 1\leq j \leq n \) abbiamo che
\[\frac{\partial h}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0)=\lim\limits_{t\to 0} \frac{(fg)(x_1, \ldots,x_j + t, \ldots, x_n) -(fg)(x_1, \ldots , x_n)}{t} \]
\[ =\lim\limits_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)g(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j) + f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)g(\mathbf{x}_0)-f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)g(\mathbf{x}_0) -f(\mathbf{x}_0)g(\mathbf{x}_0)}{t} \]

\[ =\lim\limits_{t\to 0}f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j) \frac{g(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)-g(\mathbf{x}_0)}{t} + \lim\limits_{t\to 0}g(\mathbf{x}_0) \frac{f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)-f(\mathbf{x}_0)}{t} \]

\[ =\lim\limits_{t\to 0}f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)\lim\limits_{t\to 0} \frac{g(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)-g(\mathbf{x}_0)}{t} + g(\mathbf{x}_0) \lim\limits_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)-f(\mathbf{x}_0)}{t} \]

Per continuita di \( f\) abbiamo che \( \lim\limits_{t\to 0}f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j) = f(\mathbf{x}_0) \) dunque

\[\frac{\partial h}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0)=f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0) \]

Siccome \( \mathbf{x}_0 \in U \) esiste \( \delta \) tale che \( B(\delta,\mathbf{x}_0) \subset U \) inoltre siccome \(f,g\) sono differenziabili in \(U\) sono continue in \( B(\delta,\mathbf{x}_0) \subset U \) e in piu abbiamo che in ogni punto \( \mathbf{x} \in B(\delta,\mathbf{x}_0) \) le derivate parziali di \(f\) e \(g\) esistono.
E per la scelta arbitraria di \( j \in \{ 1, \ldots ,n \} \) risulta che tutte le derivate parziali di \(h\) esistono per tutti i punti \( \mathbf{x} \in B(\delta,\mathbf{x}_0) \). Ora mi resterebbe da dimostrare che le derivate parziali di \(h\) sono continue in \( \mathbf{x}_0 \). Ma non so come fare in quanto non è necessariamente vero che le derivate parziali di \(f\) e \(g\) sono continue in \(\mathbf{x}_0\).
Una volta mostrato che \(h\) è differenziabile in \(\mathbf{x}_0\) posso concludere dicendo che per la scelta arbitraria di \( j \in \{ 1, \ldots ,n \} \), risulta:

\[ \operatorname{D}h(\mathbf{x}_0)=\begin{pmatrix}
f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} \]

\[ =\begin{pmatrix}
f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} \]

\[ =f(\mathbf{x}_0) \begin{pmatrix}
\frac{\partial g}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, \frac{\partial g}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} + g(\mathbf{x}_0)\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} \]

\[=f(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}f(\mathbf{x}_0) \]

[3m0o]

Per ipotesi
\( f(\mathbf{x}_0) = f(\mathbf{x}) + \operatorname{D}f(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + \operatorname{o}(\mathbf{x}) \) e
\( g(\mathbf{x}_0) = g(\mathbf{x}) + \operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + \operatorname{o}(\mathbf{x}) \)
Dimostrare che esiste una funzione lineare \( L \) tale che \( h(\mathbf{x}_0) = h(\mathbf{x}) + L(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + \operatorname{o}(\mathbf{x}) \)
\( h(\mathbf{x}_0) = f(\mathbf{x}_0)g(\mathbf{x}_0)=(f(\mathbf{x}) + \operatorname{D}f(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + \operatorname{o}(\mathbf{x}))(g(\mathbf{x}) + \operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + \operatorname{o}(\mathbf{x})) \)

\( h(\mathbf{x}_0) =f(\mathbf{x})g(\mathbf{x})+( f(\mathbf{x})\operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)+ g(\mathbf{x})\operatorname{D}f(\mathbf{x}_0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+ \operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}f(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^2 + \operatorname{o}(\mathbf{x})R(\mathbf{x}) \)


Dove \( R(\mathbf{x}):= f(\mathbf{x}) + \operatorname{D}f(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + g(\mathbf{x}) + \operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + 2\operatorname{o}(\mathbf{x}) \)

Abbiamo che \( \operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}f(\mathbf{x}_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^2 + \operatorname{o}(\mathbf{x})R(x) = \operatorname{o}(\mathbf{x}) \)

Dunque
\( h(\mathbf{x}_0) =h(\mathbf{x})+( f(\mathbf{x})\operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)+ g(\mathbf{x})\operatorname{D}f(\mathbf{x}_0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) + \operatorname{o}(\mathbf{x})\)

Pertanto \( h \) è differenziabile in \( \mathbf{x}_0 \) poiché abbiamo l'esistenza di una funzione lineare \( L(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) := ( f(\mathbf{x})\operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)+ g(\mathbf{x})\operatorname{D}f(\mathbf{x}_0) )(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0) \)

Può andare?

[dissonance]

Mamma mia quanto hai scritto. Fai bene, ti alleni un sacco con il LaTeX. Quanto alle derivate continue, una funzione differenziabile non ha obbligo di avere le derivate continue, mi pare che tu lo abbia capito, comunque. Questo tipo di esercizi si possono risolvere "in coordinate", ragionando sulle derivate parziali, oppure "coordinate-free", ragionando sulle applicazioni lineari di migliore approssimazione. Sostanzialmente tu hai seguito entrambe le strade. Comunque, il ragionamento del secondo post è corretto - modulo scrivere bene gli o-piccolo; non \(o(\mathbf x)\) ma \(o(\mathbf x- \mathbf x_0)\). Questo ragionamento rende inutile il calcolo in coordinate del primo post.