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Ho un campo vettoriale F ed ho trovato che il suo dominio è R^2 meno l'origine. Il campo è irrotazionale solo sull'asse delle ordinate ( il rotore è nullo quando x=0), ora come devo procedere per verificare la conservatività del campo su tale retta?

Lo sai che quanto scrivi non ha alcun senso, vero?

Non ha senso perché l'irrotazionalità dà informazioni solo su un insieme aperto. Una retta non è una aperto di \(\mathbb R^2\), essere irrotazionali su insiemi così non implica un bel niente.

d'accordo, quindi come verifico la conservatività del campo?

Usi la definizione o trovi un potenziale.

ma dove il campo non è irrotazionale non può esserci conservatività, quindi non devo verificare solo dove è irrotazionale?

Studia la teoria prima di metterti a provare a svolgere esercizi.