dimostrazione del gradiente

Messaggioda mdm7 » 18/03/2019, 13:18

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Salve a tutti! Non riesco a ottenere i contributi all'integrale della funzione partendo dallo sviluppo di taylor della derivata parziale (questo passaggio è svolto nell'utlima pagina che ho caricato).Qualcuno mi può aiutare?
p.s. nello stesso passaggio ho difficoltà a trovare gli o piccolo
mdm7
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Re: dimostrazione del gradiente

Messaggioda pilloeffe » 19/03/2019, 15:47

Ciao mdm7,

Benvenuto sul forum!

Capisco che questo sia il tuo primo messaggio, ma non hai esordito bene: come da regolamento, bisognerebbe evitare di inserire immagini che poi, con l'andare del tempo, spariscono e rendono il thread "monco" e poco leggibile per gli altri utenti del forum... :wink:
Detto questo, non ho letto tutto ma lo sviluppo in serie della penultima pagina, che è quello di una funzione $g(y, z) $ ove è stato preso come punto iniziale $P_0 (\hat x, \hat y, \hat z) $ mi pare corretto. Per quanto riguarda la questione degli $o$, ti consiglio caldamente una attenta lettura del tutorial "I simboli di Landau" di gugo82 che puoi trovare in alto prima di tutti i messaggi del forum.
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Re: dimostrazione del gradiente

Messaggioda mdm7 » 19/03/2019, 16:56

lo sviluppo di taylor è corretto ma il mio problema è un altro...all'inizio di pagina 12 abbiamo tutti i contributi all'integrale di f sulle facce di normae i e -i che ammontano ad una formula che non mi trovo perchè ho preso lo sviluppo di taylor della derivata parziale di f rispetto ad x valutata nel punto P e l'ho sostituita nella relazione dei contributi elementari che sta prima dello sviluppo di taylor della derivata parziale di f rispetto ad x
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Re: dimostrazione del gradiente

Messaggioda pilloeffe » 20/03/2019, 00:49

Attenzione... Il contributo per il versore $\mathbf i $ (per gli altri due versori il ragionamento è analogo) è il seguente:

\( \displaystyle \bigg[\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, y, z)} \cdot \Delta x + o((\Delta x)^2)\bigg] \mathbf i \)

Ora se ci fai caso il termine iniziale che moltiplica $\Delta x $ ha solo $\hat x $ costante, quindi si tratta di una funzione di $y $ e $z $ che nel mio post precedente ho chiamato $g(y, z) $; è quest'ultima che viene sviluppata in serie di punto iniziale $P_0(\hat x, \hat y, \hat z) $ ottenendo così la formula alla fine di pagina 11:

\( \displaystyle g(y, z) := \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, y, z)} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \beta \Delta y + \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \gamma \Delta z + o((\Delta y)^2) + o((\Delta z)^2) \)

avendo posto $y = \hat y + \beta \Delta y $ e $z = \hat z + \gamma \Delta z $ con $|\beta| <= 1 $ e $|\gamma| <= 1 $
Perciò si ha:

\( \displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, y, z)} \cdot \Delta x + o((\Delta x)^2) = \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \Delta x + \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \beta \Delta x \Delta y + \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \gamma \Delta x \Delta z + \, \)
\( \displaystyle + \, o(\Delta x(\Delta y)^2) + o(\Delta x(\Delta z)^2) + \, o((\Delta x)^2) = \)
\( \displaystyle = \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \Delta x + \, o((\Delta x)^2) + \, o(\Delta x \Delta y) + \, o(\Delta x \Delta z) \)

avendo trascurato gli $o$ di ordine più elevato del secondo. In definitiva, per avere il contributo complessivo delle facce di normale $\mathbf i $ e $\mathbf{-i} $ occorre moltiplicare per la superficie $ \Delta y \Delta z $, ottenendo così proprio

\( \displaystyle \bigg{\{}\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \Delta x \Delta y \Delta z + \Delta y \Delta z \cdot [o((\Delta x)^2) + o(\Delta x \Delta y) + o(\Delta x \Delta z)]\bigg{\}}\mathbf{i} = \)
\( \displaystyle = \bigg{\{}\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \Delta x \Delta y \Delta z + \Delta x \Delta y \Delta z \cdot [o(\Delta x) + o(\Delta y) + o(\Delta z)]\bigg{\}}\mathbf{i} \)
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