Sviluppo di Taylor $zsinz$

[maion]

Pensavo di aver capito gli sviluppi di Taylor, invece mi sono bloccato sul

$zsinz$ in $z=pi$ ho svolto tutto l'esercizio e non trovando l'errore ho guardato la soluzione guidata e... orrore e raccapriccio:

lo svolgimento corretto sarebbe stato quello di spezzare $zsinz=(z-pi)sinz+pisinz$ e sviluppare

Io invece ho sviluppato solo il seno, e mi sono detto z in z=pi varrà proprio pi. E ho moltilpicato lo sviluppo del seno per pi-greco.
Quel che vorrei chiedervi non è tanto lo sviluppo corretto che ho sul libro, piuttosto perché io abbia sbagliato (cioè l'errore concettuale/teorico) così da non ripeterlo in futuro.

Grazie dell'aiuto

[pilloeffe]

Ciao maion,

Osserverei che $sin z = - sin(z - \pi) $ e quindi si ha:

$f(z) = z sin z = - z sin(z - \pi) = - z \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n\frac{(z - \pi)^{2n + 1}}{(2n + 1)!} = z \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^{n + 1} \frac{(z - \pi)^{2n + 1}}{(2n + 1)!} $

[gugo82]

Le basi di Analisi I e trigonometria… Tanto basta per risolvere.

Hai:
\[
f(z) = (z-\pi +\pi)\ \sin(z -\pi +\pi) = - (z-\pi)\ \sin(z-\pi) - \pi\ \sin(z-\pi) = \ldots
\]
e concludi sfruttando la nota serie di MacLaurin.

[dissonance]

Io invece ho sviluppato solo il seno, e mi sono detto z in z=pi varrà proprio pi. E ho moltilpicato lo sviluppo del seno per pi-greco.

Ovvero hai trattato \(z\) come fosse una costante, ma non è una costante, la sua derivata prima non è zero. Di fatto, scrivendo
\[
z=\pi+(z-\pi), \]
il libro sta scrivendo lo sviluppo di Taylor della funzione \(g(z)=z\) di centro \(\pi\). Tu hai omesso il termine \(z-\pi\).

orrore e raccapriccio

Ma no, sbagliando si impara.

[maion]

Grazie a tutti per le risposte, siete sempre così gentili e ve ne sono grato! In particolare grazie @dissonance per aver capito quel che chiedevo nonostante mi avesse rimproverato -per la mia scrittura inutilmente complessa- in un altro post, mi devo essere spiegato ancora male.
Comunque sì, ho afferrato, in effeti avevo trattato z sostituendo brutalmente $pi$ e quindi alla stregua di una costante. Non riuscivo proprio a vedere l'errore.

Scusate se vi ho portato fuori strada e grazie.

[dissonance]

Per caso mi sono trovato a rileggere, e oltre a correggere un dettaglio del mio post precedente, mi sono accorto di questo:

mi avesse rimproverato -per la mia scrittura inutilmente complessa- in un altro post, mi devo essere spiegato ancora male.

Non ti sei spiegato male, non ti preoccupare. Continua così.