Criterio del rapporto per successioni

[maxira]

Potete spiegarmi perché nel dimostrare il criterio del rapporto dice di "applicare il teorema della permanenza del segno" a 1-bn?
Sapendo che an è a termini positivi, quando creo la successione 1-bn = 1-(an+1)/(an), perché dovrei imporre che tutta la successione "1-bn" è maggiore di zero?

[pilloeffe]

Ciao maxira,

Da un utente con più di 95 messaggi ci si attenderebbe una maggiore aderenza alle regole del forum, il che include lo scrivere i post correttamente con le formule, evitando di inserire immagini che poi con l'andare del tempo spariscono rendendo "monco" il post e poco leggibile per gli altri utenti del forum.

Potete spiegarmi perché nel dimostrare il criterio del rapporto dice di "applicare il teorema della permanenza del segno" a 1-bn?
Sapendo che an è a termini positivi, quando creo la successione 1-bn = 1-(an+1)/(an), perché dovrei imporre che tutta la successione "1-bn" è maggiore di zero?

Non crei alcuna successione, perché hai definito $b_n := \frac{a_{n + 1}}{a_n} $, per cui è evidente che $1 - b_n = 1 - \frac{a_{n + 1}}{a_n} $
L'ipotesi è che $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} b_n = b < 1 \implies \lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{a_{n + 1}}{a_n}) = \lim_{n \to +\infty} (1 - b_n) = 1 - b > 0 $
(dato che $b < 1 $). Quindi per il teorema della permanenza del segno $EE \nu : 1 - b_n > 0 \quad \AA n > \nu \implies b_n < 1 \implies \frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1 \implies a_{n + 1} < a_n \quad \AA n > \nu $
Comunque il criterio del rapporto per le successioni io l'ho visto dimostrato in questo modo.