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$\sum_{k=1}^infty x^k/(log(1+k))$

allora applicando il criterio di d'Alambert ottengo che il mio raggio di convergenza è $r=1$ ora so che il mio intervallo di convergenza ASSOLUTA sarà $(-1;1)$ calcolando quindi la mia serie agli estremi ottengo

per $x=-1$ $\sum_{k=1}^infty (-1)^k/(log(1+k))$ che per leibinitz converge

per $x=1$ $\sum_{k=1}^infty (1)^k/(log(1+k))$ che diverge

adesso il libro mi da queste due soluzioni

in $(-1;1)$ convergenza assoluta

in$[-1;1)$ convergenza puntuale


il mio dubbio è se fosse stato $[-1;1]$ che tipo di convergenza avrei avuto?

Ciao lepre561,

Beh, per una serie di potenze $\sum_{k} a_k (x - x_0)^k $ avente raggio di convergenza $r \in (0, +\infty) $ l'insieme di convergenza $I$ è l'intervallo $(x_0 - r, x_0 + r) $: nulla può dirsi sulla convergenza della serie di potenze agli estremi dell'intervallo $(x_0 - r, x_0 + r) $, cioè occorre andare a vedere "manualmente" cosa accade alla serie di potenze per $x_a := x_0 - r $ e per $x_b := x_0 + r $, che è esattamente ciò che hai fatto...
Concludo dicendo che se ti fosse risultata convergente in $x = 1 $, avresti avuto convergenza assoluta in $ (-1, 1) $ e convergenza puntuale in $[-1, 1] $

Per fatti noti, una s.d.p. converge totalmente (e quindi assolutamente ed uniformemente) in ogni intervallo compatto contenuto nell’interno dell’intervallo di convergenza; in altre parole, se $I=(x_0 - r, x_0 + r)$ è l’intervallo di convergenza, la convergenza è totale in ogni $[a,b] subset ]x_0 - r, x_0 + r[$
Per un importante teorema di Abel, se una s.d.p. converge in un estremo del proprio intervallo di convergenza, diciamo in $x_0-r $, essa converge uniformemente (ma in generale non totalmente) anche in ogni intervallo compatto contenuto nell’interno che ha un estremo in $x_0-r$, cioè anche in ogni intervallo $[x_0-r, b] subset [x_0-r, x_0+r[$.