Buonasera,
sto provando a svolgere il seguente esercizio, il quale è, una generalizzazione di un altro esercizio, quindi non so se ha senso svolgerlo nella seguente maniera, oppure non è possibile svolgerlo.
Comunque
$a_n to a $ per $n to + infty$ con $a_n>0$, allora $ln(a_n) to ln(a)$ per $n to infty$.
Presumo che si debba distinguere i tre casi: $a=1$, $0<a<1$, $a>1$
Per $a=1$, per definizione di limite di successione, si ha:
$forall epsilon>0, exists nu in mathbb{N}$ tale che $1-epsilon<a_n<1+epsilon$ per ogni $n>nu$, essendo che la funzione $ln$ monotona crescente, si ha che $1-epsilon<a_n<1+epsilon$ per ogni $n>nu$, dall'arbitrarietà di $epsilon$ e dal teorema dei carabinieri, si ha $ln(a_n) to ln(a)=ln(1)=0$ $forall n>nu$
Per $0<a<1$ e $a>1$, si potrebbe ragionare in modo analogo anche in questi casi, qualora fosse corretto ??
Cordiali saluti.