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Buonasera,

sto provando a svolgere il seguente esercizio, il quale è, una generalizzazione di un altro esercizio, quindi non so se ha senso svolgerlo nella seguente maniera, oppure non è possibile svolgerlo.
Comunque

$a_n to a $ per $n to + infty$ con $a_n>0$, allora $ln(a_n) to ln(a)$ per $n to infty$.
Presumo che si debba distinguere i tre casi: $a=1$, $0<a<1$, $a>1$

Per $a=1$, per definizione di limite di successione, si ha:
$forall epsilon>0, exists nu in mathbb{N}$ tale che $1-epsilon<a_n<1+epsilon$ per ogni $n>nu$, essendo che la funzione $ln$ monotona crescente, si ha che $1-epsilon<a_n<1+epsilon$ per ogni $n>nu$, dall'arbitrarietà di $epsilon$ e dal teorema dei carabinieri, si ha $ln(a_n) to ln(a)=ln(1)=0$ $forall n>nu$

Per $0<a<1$ e $a>1$, si potrebbe ragionare in modo analogo anche in questi casi, qualora fosse corretto ??

Cordiali saluti.

Non si capisce come tu voglia dedurre $ln a_n -> ln a$ da $1-varepsilon < a_n < 1 + varepsilon$.
Citi degli strumenti, ma non fai conti…


P.S.: Mi pare che distinguere i casi non serva ad alcunché. Piuttosto, osserva che $ln a_n -> ln a$ equivale a dire $ln( (a_n)/a) -> 0$ se $a>0$ (cosa che non hai esplicitamente supposto, ma che sarebbe sensato assumere come ipotesi).

P.P.S.: Cosa accade se $a=0$? E come si dimostra?

Ciao gugo82 conterraneo

gugo82 ha scritto:Non si capisce come tu voglia dedurre $ ln a_n -> ln a $ da $ 1-varepsilon < a_n < 1 + varepsilon $.
Citi degli strumenti, ma non fai conti…

hai ragione, comunque riprendo quello che ho scritto:

$ 1-varepsilon < a_n < 1 + varepsilon $, essendo $ln(x)$ funzione crescente si ha $ ln(1-varepsilon) < ln(a_n) < (1 + varepsilon) $ per ogni $n>nu$.
Quindi, dall'arbitrarietà di $epsilon$, e dal teorema dei carabinieri, si ha $ln(a_n) to 0$ per ogni $n>nu$.

Invece, per $ln(a_n/a) to 0$ con $a>0$, procedo cosi:

$epsilon>0, exists nu in mathbb{N} : |ln(a_n/a)|<epsilon$ per ogni $n>nu'$, quindi, $-epsilon<ln(a_n/a)<epsilon$,$ forall n>nu'$.
Adesso sono un pò confuso, cioè dovrei sciogliere la funzione logaritmica, e ricavarmi un nuovo indice $nu''$, per poi prendere il $nu=max{nu',nu''}$