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Salve, sto studiano la dimostrazione del seguente teorema

Un insieme $K\subset \mathbb{R}^{n}$ è chiuso e limitato (compatto) se e solo se ogni successione $\{x_{h}\}_{h\in \mathbb{N}}\subset K$ ammette un'estratta convergente a $x\in K$

In particolare, stavo leggendo l'implicazione $\Rightarrow$. Si parte col costruire l'estratta convergente della successione $\{x_{h}\}_{h}$.
Se pongo $\forall h\in \mathbb{N}$
\[
x_{h}=(x_{1,h},...,x_{n,h})
\]
Posso dire che $\{x_{1,h}\}_{h\in\NN}$ è limitata e ammette un'estratta $\{x_{1,h_{k}}\}_{k\in \NN}$ convergente a $x_{1}$. Ora il secondo passo consisterebbe nel considerare la successione $\{x_{2,h_{k}}\}_{h}$, che risulta limitata e da questa considerare un'estratta $\{x_{2,h_{k_{i}}}\}_{i\in \NN}$ convergente a $x_{2}$.. Da qui si itera questo ragionamento e si determina l'estratta.

La mia domanda è: ogni volta che passo ad una nuova componente muto le estratte precedenti. Questo non comporta problemi perché l'estratta di una successione convergente è sempre convergente e converge sempre allo stesso limite? Inoltre, sapreste consigliarmi un modo un po' meno pesante di scrivere ciò?

Grazie in anticipo

Io userei la notazione
\[
x(h)=(x_1(h), x_2(h),\ldots , x_n(h)).\]
Così puoi indicare le estratte come
\[
x_1(h_1(k)), x_2(h_1\circ h_2(k)), \ldots, x_n(h_1\circ h_2\circ \ldots \circ h_n(k)).\]

La successione convergente, alla fine, sarà
\[
x(h_1\circ h_2\circ \ldots \circ h_n(k)).\]

Cantor99 ha scritto:[...] Questo non comporta problemi perché l'estratta di una successione convergente è sempre convergente e converge sempre allo stesso limite? [...]

Esatto. Prova così: sia \( \{ \mathbf{x}_k \}_{k \in \mathbb{N}} \subseteq K \). In componenti, \[ \mathbf{x}_k = (x_k ^{(1)}, x_k ^{(2)}, \dots , x_k ^{(n)} ). \]Siccome \( \{ x_k ^{(1)} \}_{k \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R} \) è limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass ammette una sottosuccessione convergente, ovvero esistono \( \{ x_k ^{(1)} \}_{k\in I_1 } \subseteq \{ x_k ^{(1)} \}_{k \in \mathbb{N}} \) e \(\hat{x}^{(1)}\) con \( I_1 \subset \mathbb{N} \) tali che \[ \lim_{k \to \infty \\ k \in I_1} x_k^{(1)} = \hat{x}^{(1)}.\]Adesso considera \( \{ x_k ^{(2)} \}_{k\in I_1 }\); siccome è limitata, ammette una sottosuccessione convergente, sia essa \( \{ x_k ^{(2)} \}_{k\in I_2 } \subseteq \{ x_k ^{(2)} \}_{k \in I_1} \) con \( I_2 \subseteq I_1 \). Avrai che \[ \lim_{k \to \infty \\ k \in I_2} x_k^{(2)} = \hat{x}^{(2)} \] ma anche che \[ \lim_{k \to \infty \\ k \in I_2} x_k^{(1)} = \hat{x}^{(1)}\]per la ragione che hai esposto (e che ho quotato). E via discorrendo.

Grazie ad entrambi. La notazione di @dissonance è molto interessante!