Disuguaglianza naturali

[Il_Drugo]

Salve a tutti,
mi era stata proposta dal prof questa dimostrazione $ (n!)^2 >=n^n $ .
avevo pensato, a prima vista, di poter utilizzare la disuguaglianza notevole Media Geometrica mag.ug. Media Armonica, ma mio malgrado giungo ad un bel problema si ottiene che $ root(n)((n!)) >= n /(1+1/2+...+1/n) $ quindi $ n! >= (n/(1+1/2+...+1/n))^n $ ora dovrei tipo dimostrare che $ (1+1/2+...+1/n)^n <= n! $ o qualcosa del genere per passare ai reciproci e quindi affermare la tesi ma non ho la minima idea di come fare.
la seconda dimostrazione sfrutta il principio del minimo :
Sia $ A = { n in N : (n!)^2 < n^n } $ , proviamo che A è vuoto. Al contrario supponiamo che sia A non vuoto, allora A è contenuto propriamente in N pertanto per PBO ha minimo. Se A è N allora il minimo è 1 (n.b. noi lo definiamo così N ) allora 1 deve soddisfare la diseguaglianza, ma ciò non è possibile. allora A è contenuto in N, sia A arbitrario sottoinsieme di N, non vuoto, con tale proprietà sia m il suo minimo allora deve essere che $ (m!)^2< m^m => m^2(m-1)!^2 <= m^m => ((m-1)!)^2 <= m^(m-2) $ ma m-1 è più piccolo del minimo pertanto appartiene al complementare di conseguenza $ ((m-1)!)^2 >= (m-1)^(m-1) $ allora confrontando con la precedente disuguaglianza si ha che $ (m-1)^(m-1) < m^(m-2) => (m-1)^(m-1)/m^(m-2)< 1 => (m-1/m)^(m-1)*m < 1 $ ora siccome m non è 1 allora $ -1/m > -1 $ pertanto posso applicare la disuguaglianza di Bernoulli $ (1+(-1/m))^(m-1)>= (1+(m-1)(-1/m)) $ sostituendo nella precedente disuguaglianza e sviluppando i calcoli ottengo che 1>1 di conseguenza concludo che ciò è una contraddizione. dal momento che A è arbitrario in N allora concludo che $ AA nin N, nin N ^^ n notin A $ cioè A è il vuoto.

Qualcuno gentilmente può darmi qualche dritta sulla prima dimostrazione e anche su quest'altra, perchè per quanto interessante mi dà l'impressione che non fili alla perfezione.

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Il_Drugo,

Mi ricordo di averla già dimostrata in un post, ma siccome non lo trovo la riscrivo...

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n - 1) \times n $

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times ... \times 2 \times 1 $

Moltiplicando i due membri si trova:

$(n!)^2 = \prod_{k = 1}^n [k \times (n - k + 1)] $

Ora non è difficile rendersi conto che ogni termine di questo prodotto è $ >= n$, quindi l'intero prodotto è $ >= n^n $, vale a dire che si ha proprio $(n!)^2 >= n^n $

[dissonance]

Comunque, quel ragionamento con il principio del minimo è solo un modo più complicato di applicare il principio di induzione. Se non vuoi fare come pilloeffe suggerisce, usa il principio di induzione.

[Il_Drugo]

Ciao Il_Drugo,

Mi ricordo di averla già dimostrata in un post, ma siccome non lo trovo la riscrivo...

$n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times (n - 1) \times n $

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times ... \times 2 \times 1 $

Moltiplicando i due membri si trova:

$(n!)^2 = \prod_{k = 1}^n [k \times (n - k + 1)] $

Ora non è difficile rendersi conto che ogni termine di questo prodotto è $ >= n$, quindi l'intero prodotto è $ >= n^n $, vale a dire che si ha proprio $(n!)^2 >= n^n $

Ciao grazie per la risposta, in effetti mi era proprio sfuggito di andare sul banale ahah, comunque se ti può interessare sono riuscito a terminare la disuguaglianza sfruttando le già note disuguaglianze geometrica armonica, te la scrivo :

è immediato osservare che per n minore o uguale a 3 la disuguaglianza $ (n!)^2 >= n^n $ è ovvia.
proviamo allora la tesi per n maggiore od uguale a 4.
sfruttiamo il fatto che in generale è vero che GM (geometrica) maggiore o uguale HM (armonica) allora è vero per n maggiore od uguale a 4. Si avrà che $ root(n)(n*(n-1)*...*2*1) >= n/(1+1/2+...+1/n) => n!>= n^n/(1+1/2+...+1/n)^n $ ora sarà sufficiente provare che per ogni n maggiore od uguale a 4 risulta che $ n!>= (1+1/2+...+1/n)^n $.
Riscriviamo i termini della somma dei reciproci, in modo più elegante $ ((1)+(1/2+...+1/n))^n $ poniamo A=1 e B=(resto della somma). ora è immediato osservare che 0<B<1, pertanto applichiamo il Binomio di Newton all'espressione esponenziale, si ha che $ ((1)+(1/2+...+1/n))^n = sum_(k = \0) ( (n), (k) ) A^(n-k)B^k $ ma siccome B è strettamente compreso tra zero e uno allora possiamo maggiorare il Binomio con $ sum_(k = \0) ( (n), (k) ) A^(n-k)B^k <= sum_(k = \0) ( (n), (k) ) A^(n-k)=sum_(k = \0) ( (n), (k) )=2^n $ (in quanto A è 1) ma da ipotesi sappiamo che n>= 4 allora è banalmente vero che $ 2^n<= n!square $ .
sfruttiamo questo risultato nella diseguaglianza iniziale, ricordando che $ (1+1/2+...+1/n)^n <= n! => 1/(1+1/2+...+1/n)^n >= 1/(n!) => n^n/(1+1/2+...+1/n)^n >=n^n/(n!) $ ma $ n!>=n^n/(1+1/2+...+1/n)^n >=n^n/(n!) $ allora $ (n!)^2>=n^n square $.

Credo sia corretta, inoltre è abbastanza simpatica come dimostrazione, ma ciò non toglie che la tua è il top in quanto corretta ed economica

[Bokonon]

@pilloeffe
Bella!
Semplice ed elegante

[pilloeffe]

@pilloeffe
Bella!
Semplice ed elegante

Grazie Bokonon!
@Il_Drugo
Anche la tua mi sembra corretta, ma decisamente molto più artificiosa...

[gugo82]

Posto che la serie armonica diverge, mi spiegate perché risulta $B=1/2 + 1/3+ ... + 1/n <1$ per ogni indice $n$?

[pilloeffe]

Eh, mi sa che come spesso accade ha ragione gugo82, infatti è falso già per $n = 4 $:

$ 1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12 > 1 $

[Il_Drugo]

Si sì me ne sono accorto proprio ieri sera, infatti dovevo eliminare la corbelleria, ma sto sotto esame e quindi non ho avuto molto tempo di operare, ad ogni modo credo che la disuguaglianza serie armonica alla n sia comunque minore od uguale a n! (Per n maggiore o uguale a 4) il fatto è: come lo si dimostra?, cioè è abbastanza impegnativa come cosa, farlo per induzione mi sembrerebbe una perdita di tempo madornale in quanto avrei potuto applicarla sin dall’inizio... ma io preferico le robe costruttive quindi qualche input sulla dimostrazione? (Dato che ancora non so nulla di combinatoria )

[pilloeffe]

Vediamo se ti piace questa, anche se è per induzione e non è costruttiva...

1) Si vede subito che la disuguaglianza $ (n!)^2 >= n^n $ è vera per $n = 1 $, $n = 2 $ e $n = 3 $;
2) Per $ n >= 2 $ si ha $ (n + 1) > e \implies (n + 1)^2 > e(n + 1) $;
3) $ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (\frac{n+1}{n})^n (n+1) = (1+1/n)^n (n+1) < e(n+1) \implies $
$ \implies n^n \cdot e(n+1) > (n+1)^{n+1} $

A questo punto partiamo con la dimostrazione per induzione, omettendo il passo base che è già in 1).
Quindi:
Hp) $ (n!)^2 >= n^n $
Th) $((n + 1)!)^2 >= (n + 1)^{n + 1} $

$ ((n+1)!)^2 = (n! \cdot (n+1))^2 = (n!)^2 \cdot (n+1)^2 \overset{\text{Hp)}}[\ge] n^n \cdot (n+1)^2 \overset{\text{2)}}[>] n^n \cdot e(n+1) \overset{\text{3)}}[>] (n+1)^{n+1} \qquad \square $