Disuguaglianza naturali

[dissonance]

Non ho capito, una dimostrazione per induzione non sarebbe costruttiva?

[pilloeffe]

Ciao dissonance,

Non so se l'OP la intende come la intendo io, ma per me una dimostrazione per induzione non è costruttiva nel senso che la relazione è assegnata e bisogna dimostrare che è vera. In una dimostrazione costruttiva invece la relazione si determina. Esempio per intenderci:

Tutti sanno che $ 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2} $
Dimostrare per induzione che è vera è banale.
Una dimostrazione costruttiva invece, che consente di determinare la somma dei primi $n $ numeri naturali, è ad esempio quella di Gauss:

\begin{equation*}
\begin{split}
S & = 1 + \qquad 2 \quad + \qquad 3 \quad + ... + \quad (n - 2) + (n - 1) + n\\
S & = n + (n - 1) + (n - 2) \quad + ... + \qquad 3 \qquad + \quad 2 \quad + 1
\end{split}
\end{equation*}
Sommando membro a membro si ha:

\begin{equation*}
\begin{split}
S & = 1 + \qquad 2 \quad + \qquad 3 \quad + ... + \quad (n - 2) + (n - 1) + n\\
S & = n + (n - 1) + (n - 2) \quad + ... + \qquad 3 \qquad + \quad 2 \quad + 1\\
\hline
2S & = \underbrace{(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)}_{n \; volte}
\end{split}
\end{equation*}
Cioè $2S = n \times (n + 1)$ e quindi $ S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} $

[Il_Drugo]

@pilloeffe hai colto pienamente nel segno, è proprio questo che intendo, è facile (o quasi sempre è così) fare la verifica con l’ induzione quando c’è già bella e pronta la formula... ma in generale qualcuno ha avuto un’idea che deve aver provato, costruendo un ragionamento sottile e preciso, che ha permesso di creare la formula!
E lo stesso atteggiamento lo ho nei confronti delle dimostrazioni Ad Assurdo.

[pilloeffe]

è facile (o quasi sempre è così) fare la verifica con l’induzione quando c’è già bella e pronta la formula... ma in generale qualcuno ha avuto un’idea che deve aver provato, costruendo un ragionamento sottile e preciso

Attenzione a non snobbare troppo le dimostrazioni per induzione, che possono fornire una conferma a quanto si è intuito, perché mentre è senz'altro vero che qualcuno deve pur aver avuto un'idea che deve aver provato, non è detto che ci sia dietro un ragionamento così sottile e preciso: ad esempio dai un'occhiata alla diseguaglianza in questo thread, che ti riporto qui di seguito:

$ ln n! > sqrt{n}/4 \quad \AA n ge 2 $

Ora sicuramente non vincerò la medaglia Field, anche perché senz'altro sussistono stime migliori, ma non è che ho fatto tutto questo ragionamento sottile e preciso, semplicemente ho notato che graficamente la cosa funzionava. D'altronde dimostrarla per induzione potrebbe non essere così semplice...