Quesito sulla continuità delle funzioni in due variabili

[Danielson]

Buongiorno a tutti.
Avrei bisogno una mano perchè tra qualche giorno ho l'esame di Analisi 2 e non riesco a rispondere al seguente quesito:

Per una funzione f: R^2 \ {0,0} --> R, stabilire quale/quali delle seguenti proprietà garantiscono che f(x,y) tenda a 0 per (x,y) tendente a 0 in R^2 \ {0,0}:

a) ogni retta r passante per l'origine è asse di qualche cono non banale (cioè con interno non vuoto) tale che f(x,y) tenda a 0 per (x,y) tendente a 0 nell'interno del cono
b) f è continua, ogni retta r passante per l'origine diversa dall'asse y è asse di qualche cono non banale tale che f(x,y) tenda a 0 per (x,y) tendente a 0 nell'interno del cono e si ha f(0,y) --> 0 per y --> 0

Qualcuno saprebbe aiutarmi?

Grazie mille

[Danielson]

Per caso qualcuno ha qualche idea o suggerimento?

[dissonance]

Non è facilissimo. Credo proprio che a) implichi che \(f(x, y)\to 0 \) ma b) no. Il motivo di questo è che la circonferenza unitaria è compatta, ma la circonferenza privata di un punto non lo è. C'è da lavorarci un po' su, però.

[Danielson]

Grazie per la dritta.
Motiverei in questo modo:

A) la proprietà garantisce che f(x, y)-> 0 per (x, y) -->0 poiché, considerando i coni come una delle famiglie di insiemi aperti numerabili la cui unione contiene una sfera di raggio r (con r minore dell'altezza della famiglia dei coni), é possibile estrarre una sottofamiglia di coni con un numero finito di elementi che racchiuda la medesima sfera. Pertanto tale sfera é un insieme compatto, pertanto chiuso e limitato.

B) in tal caso si intende una famiglia di coni ai quali é sottratto il cono con asse x=0, pertanto decade la compattezza della sfera. Esisterà infatti un Cino infinitesimo di asse x=0 all'interno del quale (ad eccezione dell'asse) i punti (x, y) non tenderanno a 0.

Credo sia come se ci fosse una cuspide nel piano xy.

Potrebbe andare come spiegazione oppure no?

Grazie

[dissonance]

Ma no, assolutamente no. Quello che hai scritto è privo di senso. Magari, in fondo, qualche idea si può recuperare, ma devi scrivere meglio

USA le coordinate polari.

[Danielson]

Ok. Nel senso che devo ragionare sulla compattezza della circonferenza unitaria e non sulla sfera? Devo ragionare sul piano xy e dimostrare perché la circonferenza privata dell'asse y non é più compatta?
É per farlo mi conviene usare le coordinate polari partendo da una circonferenza ipotetica di raggio 1?

Scusa ma faccio fatica

[dissonance]

Si, si, lo so, è un esercizio non standard questo qua, io poi sono in viaggio da stamattina e sto rispondendo un po' a spizzichi e bocconi, da cellulare. Spero di trovare un po' di tempo per rispondere nei prossimi giorni, se vedi che me ne sono dimenticato manda un "up".

[Danielson]

Ok, grazie. Io ho l'esame martedì 16 mattina. Spero tu riesca ad illuminarmi prima
Nel frattempo provo a dimostrarlo con le coordinate polari.

[Danielson]

Ciao! Io con le coordinate polari non ci sono riuscito. Per caso hai anche solo uno spunto di inizio sul quale posso lavorare?
Grazie

[dissonance]

Scrivi \(f\) in coordinate polari, cosicché \(f\) è una funzione di \(r\ge 0\) e \(\theta\in [0, 2\pi]\). Ricordati che
\[
\lim_{(x, y)\to(0,0)} f=0\quad \iff \quad f(r, \theta)\to 0\ \text{per }r\to 0\text{, uniformemente risp. }\theta.\]
Quindi, il punto a) ci dice che, per ogni \(\theta_0\in[0, 2\pi]\) esiste un intorno \(I_{\theta_0}\) tale che \( f(r, \theta)\to 0\) uniformemente per \(\theta\in I_{\theta_0}\). Ora, \([0, 2\pi]\) è un insieme compatto, e tali intorni lo ricoprono. Dalla definizione di insieme compatto, \([0, 2\pi]\) ammette un sottoricoprimento finito di tali intorni \(I_{\theta_0}\), e da qui discende facilmente che \(f(r, \theta)\to 0\) uniformemente rispetto a \(\theta\) su TUTTO \([0, 2\pi]\).

Questa dimostrazione non si applica al punto b, come intuivi, perché \([0, 2\pi]\setminus \{\pi/2\}\) NON è compatto. Sono sicuro che tale punto non sia vero, ma non è facile trovare un controesempio.