Buonasera, vorrei chiedere qualche delucidazione riguardo ad un problema di Cauchy del primo ordine a variabili separabili.
Data $\varphi : I -> RR$ soluzione massimale del problema di Cauchy:
$\{(dot y = 3sen(y) - 2cos(y)),(y(0) = 0):}$
indicare se le affermazioni sono vere o false:
1) $\varphi$ è definta su $\RR$ ed è strettamente crescente.
2) $\varphi$ ammette un unico zero.
Ho già provato a risolvere questo esercizio, ma la separazione delle variabili, dove $\a(x) = 1$ e $\b(y) = 3sen(y) - 2cos(y)$, mi porta di fronte ad un integrale di non facile risoluzione, almeno per me. Utilizzando programmi come Derive ho potuto notare a posteriori che vi è una soluzione, ma o non riesco a trovarla io oppure non è nemmeno necessario trovarla per rispondere alle due domande.
Tuttavia prima ancora di cercare una soluzione separando le variabili, ho tentato di trovare quelle stazionarie. Visto inoltre che tra le risposte viene chiesto "la soluzione è strettamente crescente", ho provato ad analizzare proprio la $\f(x,y)$, ponendola maggiore uguale di zero.
La soluzione stazionaria dovrebbe esserci per $\y = arctg(2/3)$ e utilizzando il sistema:
$\{(3sen(y) - 2cos(y) >= 0),(sen^2(y) + cos^2(y) = 1):}$
Ho ottenuto una soluzione decrescente e quindi già la prima affermazione dovrebbe essere falsa per questa ragione.
Ho dei dubbi per quanto riguarda il fatto che ammetta un'unico zero. Sicuramente un zero è quella della condizione iniziale, ma, osservando la $\f(x,y)$ mi sembra che quest'ultima sia sublineare, che è condizione sufficiente affinché $\I = RR$.
La soluzione conferma che la soluzione ha un solo zero, mentre la prima affermazione è errata (anche se non capisco se perché non sia strettamente crescente, perché non sia definita su tutto $\RR$ o per entrambe).
Ringrazio in anticipo ogni delucidazione in merito, anche per quanto riguarda l'applicazione della definizione di "sublinearità" in esercizi di questo tipo.