Integrale doppio

[lepre561]

$int int y/(x^2+y^2) dxdy$ $D:{(x,y)in RR^2 x^2+y^2<=4 , y>=1}$

Una volta rappresentato il dominio che mi viene una semicirconferenza che sta nel primo e secondo quadrante passo alle coordinate polari.

Mettendo a sistema le due equazioni del dominio ottengo facilmente $rho$ ovvero $1/sintheta<=rho<=2$

Ma come faccio a determinarmi i valori per cui vale $theta$?

[Bbach]

Innanzitutto si tratta di un segmento circolare, non di una semicirconferenza.
Ricavare l'intervallo di variazione di $\theta$ dovrebbe essere abbastanza semplice a partire da considerazioni geometriche:
i 2 raggi e la corda identificano un triangolo isoscele di altezza $1$ e lato $2$ per cui l'angolo al vertice è $2\cdot 60°$. Quindi $\frac{\pi}{6}<\theta<\frac{5}{6}\pi$.

[lepre561]

Ringrazio per la risposta...ma non ci sarebbe un metodo meno intuitivo ma più meccanico?

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

[...] non ci sarebbe un metodo meno intuitivo ma più meccanico?

Se vuoi qualcosa di meno intuitivo devi considerare che la trasformazione in coordinate polari è

$ \Phi(\rho, \theta) : {(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta):} $

$|det[J_{\Phi(\rho, \theta)}]| = \rho $

e scrivere $D' = \Phi^-1(D) = {(\rho, \theta) \in \RR^2 : ... } $, cioè risolvere il sistema seguente:

$ {(\rho^2 cos^2\theta + \rho^2 sin^2\theta <= 4),(\rho sin\theta >= 1):} \iff {(0 < \rho <= 2),(\rho sin\theta >= 1):} $

Ora per $\rho = 2 \implies sin\theta >= 1/2 $, che è una disequazione trigonometrica che dovresti saper risolvere...

[Bbach]

...
Ora per $\rho = 2 \implies sin\theta >= 1/2 $, che è una disequazione trigonometrica che dovresti saper risolvere...

Perché risolvi la disequazione per $\rho=2$?

[pilloeffe]

Ciao Bbach,

Beh, è stato richiesto un metodo meno intuitivo ma più meccanico, ma ciò non toglie che in questi casi secondo me conviene sempre fare un bel disegno per capire meglio la situazione. Da tale disegno si capisce subito, come hai scritto, che

[...] si tratta di un segmento circolare

per la precisione contenuto nei primi due quadranti, quindi possiamo già scrivere una prima limitazione per $\theta $: $ 0 < \theta < \pi $
Poi, guardando meglio la figura, si vede che ogni punto del segmento circolare in questione si ottiene per $1 <= \rho <= 2 $, dove $\rho_1 = 1 $ corrisponde a $y = 1 $ per $ \theta = \pi/2 $, $\rho_2 = 2 $ corrisponde al raggio della circonferenza.
Applicando la definizione di $ sin\theta = \rho_1/\rho_2 = 1/2 $ e risolvendola si ottengono i due valori $\theta_1 = \pi/6 $ e $\theta_2 = (5\pi)/6 $
Quindi in definitiva si ha:

$D' = \Phi^-1(D) = {(\rho, \theta) \in \RR^2 : 1/sin\theta <= \rho <= 2, \pi/6 <= \theta <= (5\pi)/6} $

[Bbach]

Ok grazie!
Credevo che anche il fatto di risolvere la disequazione per $\rho=2$ fosse dettata da un motivo 'meccanico' e non intuitivo. Vedo invece che, in linea con quanto scritto da me ma in maniera più elegante, semplici considerazioni geometriche sul dominio di integrazione portano al risultato voluto.