Ciao!
ho sempre snobbato questo teorema e oggi mi è venuto di dimostrarlo
sia $f:(a,b)->RR$ una funzione derivabile.
Se $f'$ è monotona crescente allora è $f$ è convessa
ho provato a dimostrarlo così:
consideriamo $x,y in (a,b)$ con $x<y$ poniamo $g(lambda)=f(lambday+(1-lambda)x)-lambdaf(y)-(1-lambda)f(x)$
poiché $g(1)=g(0)=0$ esiste almeno un $lambda_0 in (0,1)$ per cui $g'(lambda_0)=0$ ossia
$g'(lambda_0)=(y-x)f'(lambda_0y+(1-lambda_0)x)-f(y)+f(x)=0 <=> (f(y)-f(x))/(y-x)=f'(x_0+lambda_0(y-x))$
poichè $f'$ è monotona si ha
$(f(y)-f(x))/(y-x)leqf'(x_0+lambda(y-x)) => 0leqg'(lambda)$ per $lambdageqlambda_0$
$(f(y)-f(x))/(y-x)geqf'(x_0+lambda(y-x)) => 0geqg'(lambda)$ per $lambdaleqlambda_0$
quindi si ha che $0=g(0)leqg(lambda)$ per $0leqlambdaleqlambda_0$ e $0=g(1)leqg(lambda)$ per $lambda_0leqlambdaleq1$
ossia la tesi.