criterio di convergenza di cauchy

Il criterio dice che an+1+an+2+……….+an+k<α con α piccolo a piacere e k qualsiasi. Adesso mi domando ,perché se il resto ennesimo cioè la sommatoria precedente è limitato allora la serie di termine an converge? Come posso motivarlo intuitivamente? La dimostrazione non mi è ben chiara

Il criterio dice che an+1+an+2+……….+an+k<α con α piccolo a piacere e k qualsiasi.

Quale criterio?
Di Criteri di Cauchy ce n’è una pletora…

E comunque, nessuno dice ciò che hai scritto.

Adesso mi domando ,perché se il resto ennesimo […]

Il resto di che?

[…] cioè la sommatoria precedente è limitato […]

Il Criterio non dice questo.

[…] se […] allora la serie di termine an converge?

Perché si dimostra.

Come posso motivarlo intuitivamente? La dimostrazione non mi è ben chiara

Fatti un disegno.
E studiati la dimostrazione.

Il criterio di convergenza di Cauchy afferma che una successione \( (a_n) \) converge se e solo se è di Cauchy, dunque se \( \forall \varepsilon >0 \), piccolo a piacere esiste un \( N >0 \) grande a piacere tale che \( \forall n \geq N \) e \( \forall m \geq 1 \) allora \( \begin{vmatrix} a_{n+m} - a_n \end{vmatrix} \leq \varepsilon \)

Intuitivamente:
In una direzione
Se hai una successione convergente allora evidentemente ad un certo punto l'oscillazione dei tuoi punti è piccola quanto vuoi, ovvero l'errore tra un termine ed i successivi è piccola a piacere, o ancora tutti i termini successivi ad \( a_N \) saranno tutti distanti meno di un valore piccolo a piacere, questo è abbastanza intuitivo visto che la tua successione converge.

Nell'altra direzione:
Dice che se l'oscillazione dei tuoi punti, l'errore tra un termine e i suoi successivi, è piccolo a piacere allora la successione deve convergere. Infatti se tutti i punti da un certo \( N \) in poi sono tutti vicinissimi tra loro allora converge proprio per la scelta arbitraria del tuo \( \varepsilon \), l'errore.
Non so se sono stato chiaro.

\( \forall \varepsilon >0 \), piccolo a piacere esiste un \( N >0 \) grande a piacere

Perché, $epsilon = 10^(10^(10))$ non ti piace?

Ed $N=1$ nemmeno?

Si \( \forall \varepsilon >0 \) esiste un \( N_{\varepsilon} > 0 \).
Però per finire ci si interessa a valori molto piccoli di \( \varepsilon \), o sbaglio?