Metodo di convergenza di Newton

[Smon97]

Salve,
avrei bisogno di un aiuto riguardo a questo esercizio di analisi numerica, soprattutto per il metodo di convergenza di newton

Date le curve $y=x$ e $y=tanx$ con $x\in[3.6; 4.6]$, dopo aver rappresentato graficamente l'intersezione fra le due curve , determinare un errore di $10^(-6)$ tale punto utilizzando il metodo di newton.

Tracciando graficamente le curve il punto di intersezione mi viene circa 4.
per applicare il metodo di convergenza di newton considero la funzione della composizione delle due curve che chiamo $f(x)=tanx$

La formula di Newton è:
$X^(k+1) = X^(k) - f(x^k)/(f'(x^k)) $

con la derivata diversa da zero
Che punto devo scegliere al passo K ? scegliendo come punto X=4 (o comunque un numero abbastanza "vicino" al 4) non riesco a trovare una soluzione
con $ f(x^k) $ intendo la funzione f(x) calcolata al "passo" k
grazie

[pilloeffe]

Ciao Smon97,

C'è un errore di fondo in ciò che stai facendo, perché se devi trovare l'intersezione fra $ y = x $ e $y = tanx $ la funzione da considerare sarà $f(x) = tan x - x $
Facendo uso della relazione

$x_{k + 1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $

e partendo da $x_0 = 4 $ dovresti trovare abbastanza rapidamente la tua soluzione, molto vicina a $9/2 $

[Smon97]

per ipotesi del teorema di convergenza di Newton però ho che:
$f(a)*f(b)<0$

invece a me viene positivo il prodotto,, quindi significa che ho sbagliato la composizione o non posso applicare Newton?
anche se considero $f(x)=tanx-x$
poichè
$(tan(3.6)-3.6) *(tan(4.6)-4.6)>0$

[pilloeffe]

quindi significa che ho sbagliato la composizione o non posso applicare Newton?

Secondo me la seconda che hai detto...
Infatti il metodo di Newton-Raphson asserisce che se

i) $ f(a) \cdot f(b) < 0 $
ii) $f' $ e $f'' $ hanno segno costante in $[a, b] $

allora se $ f(a) \cdot f''(a) > 0 $ la successione $ x_{k + 1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $ con $x_0 = a $ converge ad un certo valore $ c $ per difetto, se invece $f(b) \cdot f''(b) > 0 $ allora la successione $ x_{k + 1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} $ con $x_0 = b $ converge ad un certo valore $ c $ per eccesso.

Se non è soddisfatta neanche l'ipotesi i) suggerirei un metodo alternativo, ad esempio quello del punto fisso...

[Smon97]

si esatto. Questo esercizio è preso da un compito esame in cui richiede proprio di applicare il teorema di Newton quindi non mi è possibile cambiare metodo per questo mi è venuto il dubbio che stessi sbagliando io qualcosa nel determinare f(x).

[pilloeffe]

Questo esercizio è preso da un compito esame in cui richiede proprio di applicare il teorema di Newton quindi non mi è possibile cambiare metodo

Ok, allora prova con $f(x) = x cos x - sin x $

[Smon97]

ok grazie

[feddy]

Mi intrometto...
in un compito dovresti mostrare che la soluzione di $x=\tan(x)$, o meglio lo zero di $h(x):=x-\tan(x)$ è unica nel tuo intervallo. (Vedi monotonia + teorema di esistenza degli zeri).

Il risultato citato è un teorema che ha un carattere più globale, mentre quello che si aspetta chi ha posto la domanda credo sia un risultato di convergenza locale, che mi limito a ricordare (le ipotesi su $h$ le ricordo a spanne, ma non ci sono problemi per questo problema in esame):

"Sia $\bar{x}$ è uno zero semplice di $h(x)=0$, $h:[a,b] \rightarrow RR$, e $h \in \mathcal{C}^2$. Allora per $x_0 \in [a,b]$ abbastanza vicino a $\bar{x}$ le iterate di Newton sono ben definite e convergono quadraticamente a $\bar{x}$"

Chiaramente $\bar{x}$ è zero semplice. Il teorema non è "costruttivo", non ti permette di dire chiaramente chi sia l'intorno da scegliere