Passa al tema normale
Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

Regole del forum

Consulta il nostro regolamento e la guida per scrivere le formule
Rispondi al messaggio

Argomento di un numero complesso

17/04/2019, 18:37

Ciao, un esercizio chiede di scrivere il seguente prodotto
$$
(2-7i)(5+3i)
$$
in forma trigonometrica. Se svolgo prima il prodotto ottengo un modulo davvero grande e non so come determinare l'argomento del numero complesso tramite l'arcotangente, non essendo il suo argomento quello di angoli "noti".
$$
\arctan(\frac{31}{\sqrt{1802}})
$$
D'altra parte se cerco la formula trigonometrica dei singoli fattori mi ritrovo comunque argomenti di angoli non noti. Come si deve procedere? Ho guardato tra gli esercizi svolti di Matematicamente ma non ce ne sono con l'uso dell'arcotangente di angoli.

Re: Argomento di un numero complesso

18/04/2019, 00:54

Non devi per forza calcolare il modulo: la tangente dell'argomento è il rapporto tra parte immaginaria e parte reale, quindi nel tuo caso si trova che il prodotto è $31-29i$ e che quindi l'argomento è $\arctan(-29/31)$.
tetravalenza ha scritto:\[ \frac{31}{\sqrt{1802}} \]

Questo è il rapporto tra parte reale e modulo, cioè il coseno dell'argomento, quindi equivalentemente si può dire che l'argomento è $-arccos( \frac{31}{\sqrt{1802}})$ (il segno $-$ è dovuto al fatto che il numero in questione giace nel quarto quadrante).

Se invece vuoi arrivarci a partire dagli argomenti dei due fattori basta usare le formule di addizione per le funzioni trigonometriche: se ad esempio lavori con le tangenti, puoi usare

\[ \tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\]

dove $\alpha$ e $\beta$ sono gli argomenti dei due fattori. Nel tuo caso le tangenti di tali angoli sono $-7/2$ e $3/5$, e sostituendo nella formula di addizione viene proprio $-29/31$.

Re: Argomento di un numero complesso

18/04/2019, 09:09

spugna ha scritto:Non devi per forza calcolare il modulo: la tangente dell'argomento è il rapporto tra parte immaginaria e parte reale, quindi nel tuo caso si trova che il prodotto è $31-29i$ e che quindi l'argomento è $\arctan(-29/31)$.


Ciao, quindi nella formula trigonometrica generica $\rho(cos(\theta)+i\sin(\theta))$ al posto di $\theta$ si può scrivere $\arctan(-\frac{19}[31})$ senza calcolarne l'angolo? Al posto di $\rho$ sostituisco $\sqrt{1802}$.
Rispondi al messaggio


Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000— Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.