massimi e minimi assoluti

[lepre561]

$f(x,y)=(x^2-3y)^2e^(-y)$

una volta determinati gli estremi relativi , bisogna detrminare gli estremi assosulti nella regione di piano del primo quadrante delimitata dagli assi cartesiani e dalla retta $x+y=1$

su come svolgere questo esercizio non avrei problemi se non che nello svolgere la derivate parziali prime mi ritrovo a risolvere un sistema di questa maniera

${(e^(-y)[4x(x^2-3y)]=0),(e^(-y)[-x^4+6x^2(y-1)-9(y-2)y]=0):}$

tale sistema come è risolvibile?


inoltre assoluti ho parametrizzato la retta $y=1-x$
${(x=t),(y=1-t):}$ $t=[0,1]$

andando poi a sostituire nella $f(x,y)=(t^2+3t-3)^2*(e^(t-1))$

dovrei fare la derivata ma mi viene un altro mostro...possibile sia cosi complicato?

[gugo82]

Stai facendo calcoli inutili.
Perché?

[lepre561]

forse perchè la funzione esponenziale non si annulla mai e poi perchè il termine tra parentesi è al quadrato?

[gugo82]

Già.

I minimi sai già dove stanno.
Per i massimi, io cercherei dove si annulla il gradiente o sulla frontiera, dove $e^(-y)$ e/o $|x^2 - 3y|$ sono più grandi.

[Bokonon]

@Gugo Nella prima parte dell'esercizio temo che debba proprio dimostrare che esiste un massimo relativo in (0,2).
$f_(x x)(0,2)=-24/e^2$
$f_(yy)(0,2)=-18/e^2$
$f_(xy)(0,2)=0$

[lepre561]

@Gugo Nella prima parte dell'esercizio temo che debba proprio dimostrare che esiste un massimo relativo in (0,2).
$f_(x x)(0,2)=-24/e^2$
$f_(yy)(0,2)=-18/e^2$
$f_(xy)(0,2)=0$

come hai fatto a trovarti il punto?

[caffeinaplus]

Ciao,
come già suggerito il minimo della funzione è 0.
Per quanto riguarda quel sistema di derivate, io le riscriverei in modo più gestibile

$ { ( 4xe^(-y)(x^2-3y)=0 ),( -e^(-y)(x^2-3y)(x^2-3y-6)=0 ):} $

A questo punto si tratta solo di risolvere equazioni ( al massimo ) di secondo grado.
Con le equazioni riscritte così diventa facilmente risolvibile con la parametrizzazione

$varphi(t) = (t,1-t)$

[gugo82]

@Gugo Nella prima parte dell'esercizio temo che debba proprio dimostrare che esiste un massimo relativo in (0,2).

Fuori dal dominio?

[Bokonon]

come hai fatto a trovarti il punto?

Riprendo ciò che ha scritto caffeinaplus ma correggo un segno (è un +6 nella seconda equazione)
$ { ( 4xe^(-y)(x^2-3y)=0 ),( -e^(-y)(x^2-3y)(x^2-3y+6)=0 ):} $

Siamo alle solite lepre...tu cerchi disperatamente un modo meccanico mentre tutti ti invitano a ragionare.
Primo consiglio, non distribuire i prodotti a meno che non sia necessario.
Guarda come caffeinaplus ha scritto il sistema...così è pulito e chiaro, sono tutti prodotti.
$e^(-y)$ non è mai zero, quindi lo possiamo toalmente ignorare.
La prima equazione si azzera solo per $x=0$ e $y=x^2/3$.
Quest'ultima annulla anche la seconda equazione ed è evidente anche dalla funzione stessa (basta guardarla per rendersi conto che è sempre positiva o al minimo zero) e quindi lungo tutta la parabola la $f(x,x^2/3)=0$ e sarà un "luogo" di minimi assoluti.
Quindi resta solo da sostituire $x=0$ nella seconda equazione e vedere cosa succede. In versione semplificata esce $y(y-2)=0$
$y=0$ appartiene alla parabola di cui sopra quindi (0,0) è sempre un minimo. Poi c'è $y=2$ quindi il punto (0,2) da analizzare.
Sappiamo per certo che non è un minimo (e non chiedermi di nuovo il perchè! Ne abbiamo già parlato in un altro thread), quindi può essere un massimo (relativo, dato che la funzione va a $+oo$) oppure una sella.
Per saperlo bisogna rimboccarsi le maniche e fare i conti (ed hai già anche i risultati dell'hessiana con cui confrontare i tuoi conti...perchè devi farli adesso, capito?!?).
Scoprirai che è un massimo relativo ma che si trova fuori dal vincolo, quindi nella seconda parte del problema non lo terrai in considerazione e seguirai i consigli di Gugo e troverai che i minimi stanno tutti nella porzione di parabola all'interno del vincolo e che il massimo assoluto sta in (0,1).

[Bokonon]

Fuori dal dominio?

una volta determinati gli estremi relativi

Bocciato!