Consideriamo
\[ A := \{ (x,y) \in ]0,1] \times \mathbb{R} : y \leq 2 + \sin(\frac{1}{x}) \} \]
A è misurabile nel senso di Jordan?
Allora noi abbiamo la seguente definizione: Sia \( E \subset \mathbb{R}^n \) limitato, diciamo che \( E \) è misurabile nel senso di Jordan se \( \mathbf{1}_E \in \mathcal{R}(E) \), dove \( \mathbf{1}_E(\mathbf{x})=1 \) se \( \mathbf{x} \in E \) e \( \mathbf{1}_E(\mathbf{x})=0 \) se \( \mathbf{x} \not\in E \).
E si pone dunque
\[ \operatorname{Vol}(E) = \int_E \mathbf{1}_E(\mathbf{x})d\mathbf{x} \]
Il problema è che \( A \) non è limitato. Ma comunque credo che non ponga problemi (o sbaglio?)
\(\underline{S}, \overline{S} \)
Quello che devo dimostrare è che \( \mathbf{1}_A \) è integrabile nel senso di Riemann giusto?
Allora se notiamo l'insieme \( A_1:= \{ \mathbf{x} = (x,y) \in ]0,1]\times \mathbb{R} : y \leq 2 \} \subset A \) è chiaramente misurabile nel senso di Jordan infatti presa una partizione arbitraria \( \mathcal{P}=\{R_i\}_{i=1}^{\infty} \) di \( A_1 \) abbiamo che
\(\underline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P}) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \inf_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) \operatorname{Vol}(R_j) \)
\( \overline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P} ) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sup_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) \operatorname{Vol}(R_j) \)
E visto che su \( A_1 \) abbiamo che fissato un \( j \in \mathbb{N}_+ \) \( \inf_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) = \sup_{\mathbf{x} \in R_j} \mathbf{1}_{ A_1}(\mathbf{x}) = 1 \), \( \forall j \in \mathbb{N}_+ \)
Dunque abbiamo chiaramente che
\[ \sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P} ) = \operatorname{Vol}( A_1) = \inf_{\mathcal{P}} \overline{S}(\mathbf{1}_{ A_1} , \mathcal{P} ) \]
Pertanto risulta che
\[ \int_{ A_1} \mathbf{1}_{ A_1} (\mathbf{x})d\mathbf{x} = \operatorname{Vol}( A_1) \]
Pertanto \( \mathbf{1}_{A_1} \in \mathcal{R}(A_1) \)
Insomma in fin dei conti \( A_1 \) è un rettangolo escluso il bordo di asse \( x = 0 \) che è un insieme trascurabile, mi sembra abbastanza chiaro che è misurabile nel senso di Jordan.
Il problema è più complesso considerando \( A_2 := \{ \mathbf{x} = (x,y) \in ]0,1]\times \mathbb{R} :2 < y \leq 2 + \sin(\frac{1}{x}) \} \subset A \), chiaramente abbiamo che \( y \neq 2 \) per ogni \( \mathbf{x} \in A_2 \) pertanto abbiamo che \( A= A_1 \sqcup A_2 \)
E mi sembra evidente (poi magari non è vero) che \( \operatorname{Vol}(A) = \operatorname{Vol}(A_1) +\operatorname{Vol}(A_2) \)
Pertanto se dimostriamo che \( \mathbf{1}_{A_2} \in \mathcal{R}(A_2) \) allora abbiamo dimostrato che \( \mathbf{1}_{A} \in \mathcal{R}(A) \) sicché
\[ \int_{ A} \mathbf{1}_{ A} (\mathbf{x})d\mathbf{x} = \int_{ A_1} \mathbf{1}_{ A_1} (\mathbf{x})d\mathbf{x} + \int_{ A_2} \mathbf{1}_{ A_2} (\mathbf{x})d\mathbf{x} \]
Sarei tentato di dire che per continuità di \( \sin(\frac{1}{x} ) \) su \( ]0,1] \) abbiamo che tutti i valori di \( y \in ]2,2+\sin(1)] \) sono presi e dunque posso applicare lo stesso argomento che ho applicato su \( A_1 \). Ma non sono sicuro.
E quindi \( A \) è misurabile nel senso di Jordan.
ps: domanda di curiosità, nelle note del corso la funzione caratteristica di \( E \) è scritta con \mathbb{1}_E ma quando scrivo \mathbb{1} non mi da il risultato sperato e mi lascia invariato l' 1. Ho cercato il motivo e ho letto che \mathbb non supporta con i pacchetti amssymb o txfonts le cifre. E mi dicono di usare il pacchetto bbm e scrivere \mathbbm o il pacchetto dsfont e scrivere \mathds. Ma se sul forum scrivo \mathds oppure \mathbbm non mi riconosce il comando. Sapete il perché?