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Devo dimostrare che e^(1+sen(x)) è periodica e determinare il periodo in cui lo è. Ho provato ad usare un programma che disegna i grafici e mi risulta che è periodica ma non riesco a capire come faccio a determinarlo senza quest'ultimo.
Grazie in anticipo!!

Ciao Encina,

Benvenuta sul forum!

Beh, qual è la definizione di funzione periodica? La funzione $ sin(x) $ è periodica? Se la risposta alla domanda precedente è affermativa, non ti pare ragionevole che la funzione $f(x) = e^{1+sin(x)} $ proposta abbia lo stesso periodo?

Se ti è chiara la definizione rigorosa di funzione periodica, non è difficile applicarla al caso in esame.

La funzione $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ è periodica di periodo $T>0$ se $T$ è il più piccolo numero reale positivo tale che
$f(x+T)=f(x)$ per ogni $x\in D$

In pratica devi applicare la definizione e cercare $T$. Se non esiste, non è periodica. Altrimenti, trovi $T$ e quindi anche il periodo.

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Ho scritto in contemporanea con pilloeffe

Ciao Bbach,

Bbach ha scritto:Ho scritto in contemporanea con pilloeffe

No problem, anche perché la definizione di funzione periodica non l'avevo scritta...
Occhio però che la scrittura corretta è $ f : D \rightarrow \RR $

Grazie mille, mi era nota la definizione di funzione periodica ma non ero sicura che una funzione composta da una periodica e una no lo fosse. Graziei mille a entrambi

Encina ha scritto:Grazie mille, mi era nota la definizione di funzione periodica ma non ero sicura che una funzione composta da una periodica e una no lo fosse. Grazie mille a entrambi

In verità quanto scrivi non è proprio vero in generale. Ad esempio $e^{\sin x}$ è periodica ma $\sin e^x$ non lo è. Inoltre non è detto che il periodo sia lo stesso.
Per fare l'esercizio in esame puoi fare le osservazioni che ha fatto pilloeffe (che però non valgono per qualsiasi funzione come hai scritto tu) oppure ricerchi il periodo così:
$e^{1+\sin x}=e^{1+\sin (x+T)} \implies e^{\sin x}=e^{\sin (x+T)} \implies \sin x = \sin(x+T)$ e il più piccolo numero reale positivo $T$ che soddisfi l'ultima uguaglianza $\forall x$ è $T=2\pi$.

@Bbach: Beh, no.
L’ultima uguaglianza vale anche se $T=-2 pi$ o se $T=128 pi$ o se $T = -1282 pi$… Devo continuare?

gugo82 ha scritto:@Bbach: Beh, no.
L’ultima uguaglianza vale anche se $T=-2 pi$ o se $T=128 pi$ o se $T = -1282 pi$… Devo continuare?

Sì hai ragione Avendo definito $T$ in un post precedente, implicitamente mi riferivo al più piccolo numero reale positivo che verificasse la relazione. Correggo subito!