Convergenza integrale

Messaggioda themagnope » 30/04/2019, 17:00

Quale utilita ha lo studio della convergenza o la divergenza di un integrale?
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Re: Convergenza integrale

Messaggioda gugo82 » 30/04/2019, 19:23

Qual è l’area della regione di piano compresa tra l’asse delle ascisse, la retta di equazione $x=1$ ed il grafico della funzione $f(x) = 1/x^2$?


P.S.:Sarebbe interessante capire come mai, a distanza di sei anni da post su come stabilire la convergenza di integrali impropri, poni una domanda simile.
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Re: Convergenza integrale

Messaggioda themagnope » 30/04/2019, 20:22

=1

PS: Sarebbe interessante comprendere perchè è complesso ottenere risposte semplici
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Re: Convergenza integrale

Messaggioda gugo82 » 30/04/2019, 21:10

themagnope ha scritto:=1

E come hai fatto?

Puoi calcolare altrettanto facilmente quanto vale l’area della regione di piano delimitata dall’asse delle ascisse, dalla retta di equazione $x=1$ e dal grafico della funzione $f(x) := x/(e^x + 1)$?

P.S.: Non scherzavo.
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Re: Convergenza integrale

Messaggioda themagnope » 30/04/2019, 22:28

Sei stato molto chiaro mi avevi gia rinfrescato la memoria dopo che ho risolto la tua prima domanda grazie
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Re: Convergenza integrale

Messaggioda pilloeffe » 01/05/2019, 09:46

Ciao themagnope,
themagnope ha scritto:Quale utilità ha lo studio della convergenza o la divergenza di un integrale?

E' utile sapere prima se un integrale converge o diverge perché se diverge non si perde tempo a cercare di calcolarlo; se invece converge anche se magari non è facile da calcolare analiticamente si può procedere con metodi numerici o comunque si possono ricavare delle stime.
themagnope ha scritto:=1

Non l'ho capita... :wink:
Se $b > 0 $ allora notoriamente

$ \int_0^b 1/x^p \text{d}x $

converge se $p < 1 $, diverge se $p >= 1 $. Nel caso in esame si ha $b = 1 > 0$ e $p = 2 > 1 $, per cui l'integrale improprio diverge.
L'altra funzione che ti ha proposto gugo82 l'hai snobbata, ma invece è anche più interessante proprio perché fornisce un esempio di ciò che ti ho scritto in precedenza:

$ \int_0^1 x/(e^x + 1) \text{d}x $

Converge o diverge? Così su due piedi non saprei; trovare la primitiva è possibile, ma di certo non è facile e sono senz'altro coinvolte funzioni non elementari... Che si fa? Eh, vediamo prima se converge, se no si perde tempo inutilmente. Si ha:

$ \int_0^1 x/(e^x + 1) \text{d}x <= \int_0^1 x/e^x \text{d}x = \int_0^1 x e^-x \text{d}x = \frac{e - 2}{e} $

Ora sappiamo che converge, per cui possiamo ad esempio usare metodi numerici con la certezza che se operiamo bene un risultato finito lo troviamo. Altro esempio simile:

$ \int_0^1 x/(e^x - 1) \text{d}x $

Converge o diverge? Così su due piedi non saprei; trovare la primitiva è possibile, ma di certo non è facile e sono senz'altro coinvolte funzioni non elementari... Che si fa? Eh, vediamo prima se converge, se no si perde tempo inutilmente. Si ha:

$e^x = sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/(n!) >= 1 + x \implies e^x - 1 >= x \implies x/(e^x - 1) <= 1 $

Dunque si ha:

$ \int_0^1 x/(e^x - 1) \text{d}x <= \int_0^1 1 \text{d}x = 1 $

Ora sappiamo che converge, per cui possiamo ad esempio usare metodi numerici con la certezza che se operiamo bene un risultato finito lo troviamo.
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