Ciao themagnope,
themagnope ha scritto:Quale utilità ha lo studio della convergenza o la divergenza di un integrale?
E' utile sapere prima se un integrale converge o diverge perché se diverge non si perde tempo a cercare di calcolarlo; se invece converge anche se magari non è facile da calcolare analiticamente si può procedere con metodi numerici o comunque si possono ricavare delle stime.
themagnope ha scritto:=1
Non l'ho capita...
Se $b > 0 $ allora notoriamente
$ \int_0^b 1/x^p \text{d}x $
converge se $p < 1 $, diverge se $p >= 1 $. Nel caso in esame si ha $b = 1 > 0$ e $p = 2 > 1 $, per cui l'integrale improprio diverge.
L'altra funzione che ti ha proposto gugo82 l'hai snobbata, ma invece è anche più interessante proprio perché fornisce un esempio di ciò che ti ho scritto in precedenza:
$ \int_0^1 x/(e^x + 1) \text{d}x $
Converge o diverge? Così su due piedi non saprei; trovare la primitiva è possibile, ma di certo non è facile e sono senz'altro coinvolte funzioni non elementari... Che si fa? Eh, vediamo prima se converge, se no si perde tempo inutilmente. Si ha:
$ \int_0^1 x/(e^x + 1) \text{d}x <= \int_0^1 x/e^x \text{d}x = \int_0^1 x e^-x \text{d}x = \frac{e - 2}{e} $
Ora sappiamo che converge, per cui possiamo ad esempio usare metodi numerici con la certezza che se operiamo bene un risultato finito lo troviamo. Altro esempio simile:
$ \int_0^1 x/(e^x - 1) \text{d}x $
Converge o diverge? Così su due piedi non saprei; trovare la primitiva è possibile, ma di certo non è facile e sono senz'altro coinvolte funzioni non elementari... Che si fa? Eh, vediamo prima se converge, se no si perde tempo inutilmente. Si ha:
$e^x = sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/(n!) >= 1 + x \implies e^x - 1 >= x \implies x/(e^x - 1) <= 1 $
Dunque si ha:
$ \int_0^1 x/(e^x - 1) \text{d}x <= \int_0^1 1 \text{d}x = 1 $
Ora sappiamo che converge, per cui possiamo ad esempio usare metodi numerici con la certezza che se operiamo bene un risultato finito lo troviamo.