Calcolo derivate seconde miste

[Cobra9200]

Sto dando uno sguardo ad alcuni esercizi svolti ma non capisco perchè fxy(0,0) nell'ultimo passaggio si trova con k/k=1 :/ Ho caricato le foto poichè era molto lungo il tutto da scrivere , sperando che le immagini siano chiare . Grazie a chi mi dà una spiegazione
https://twitter.com/LocoToretto/status/1128199574554861568

[apatriarca]

Stai cercando di calcolare la derivata seconda mista \( f_{xy}(0, 0) \) della funzione
\[ f = \begin{cases}
y^2\,\arctan \frac{x}{y} & y \neq 0 \\
0 & y = 0.
\end{cases} \]
All'inizio della pagina hai calcolato che
\[ f_x(x, y) = \begin{cases}
\frac{y^3}{x^2 + y^2} & y \neq 0 \\
0 & y = 0
\end{cases} \]
Puoi quindi calcolare
\[ f_x(0, k) = \frac{k^3}{0 + k^2} = k. \]
Se calcoli ora il tuo limite ottieni
\[ \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0, k) - f_x(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k - 0}{k} = 1. \]

[Cobra9200]

grazie