Derivate dubbio

[albalonga]

Salve,

sono alla ricerca di una spiegazione su un dubbio che mi è sorto studiando la derivazione composta e la regola della catena anche se ha poco a che fare con quella. Il dubbio è nato lì per l'abuso di notazione e ha preso vita propria.

mi chiedevo se avesse senso, usando l'abuso notazionale, calcolare la derivata $(d(2x))/(d(x^2))$

1) Facendo un esempio stupido noto infatti che se ho una funzione $f(x,y)=g(x')+g(x)+h(y)$ nella derivata parziale rispetto a x sciverei $f'(x,y)=g'(x)$ non considerando la dipendenza x' da x g(x')=0 e h(y)=0.

2) Però se volessi calcolare: $(d(2x))/(d(x^2))$ potrei scrivere $(d(2sqrtx^2))/(d(x^2))$ e chiamando $k=x^2$: $(d(2sqrtk))/(dk)$ derivata ora fattibile. Eppure $2x$ è la derivata di $x^2$, quindi avrei dovuto considerarla slegata e dire che faceva zero come nel caso 1)

Avrei quindi due dubbi:

- se ho sbagliato qualche passaggio nella 1) a considerare l'indipendenza della derivata
- se esiste una derivata $(d(2x))/(d(x^2))$ (e nel caso esistesse se si procede con la sostituzione comeho fatto io nella 2) se è giusta come strada)

Spero tanto qualcuno mi aiuti ad uscirne, lo ringrazio tantissimo

[Luca.Lussardi]

Avrei quindi due dubbi:

- se ho sbagliato qualche passaggio nella 1) a considerare l'indipendenza della derivata

si, è sbagliato: se $x'$ è funzione di $x$ devi derivare anche $x'$...

[albalonga]

devi scusarmi, in effetti ho usato una notazione scorretta. Con x' intendevo dire che fosse la derivata di x stessa.
Riformulo quindi la domanda 1) intendendo con x' la derivata prima di x, perdonami.

Mentre per il punto 2?

[albalonga]

Se sono stato poco chiaro o ho sbagliato vi prego ditemelo, almeno posso correggermi perché ho bisogno di una mano davvero, ci ho pensato su un po' e da solo non riesco

Grazie ragazzi

[gugo82]

La notazione che usi non ha grande senso, a meno di non considerare $x’$ una variabile “indipendente”.

Da dove nasce la domanda?
Fai un esempio concreto.

Per quel che riguarda $text(d) x^2$, quel differenziale lì si usa per la derivata seconda. Forse volevi scrivere $text(d)(x^2)$?

[albalonga]

Ciao gugo82, mi avevi già risposto in un'altra domanda e torno a ringraziarti per avermi dato ascolto nonostante non sia molto ferrato. Spero col tuo/vostro aito di superare anche questo essermi incagliato.

2) per rispondere al tuo appunto sì, intendevo dire proprio $d(x^2)$ con abuso di notazione intendendo che derivo rispetto ad $x^2$ e mi chiedo proprio cosa faccia, se la mia ipotesi fosse corretta o meno. Non riesco a districarmene da solo.

1) per il punto primo, invece, deriva da un esercizio svolto di fisica (di cui non ricordo bene il testo, ma mi sono portato dietro il dubbio da qualche settimana) dove avevo una situazione tipo $f(x,y)=\dotx+x+y$ e derivando parzialmente rispetto ad x trovavo scritto: $f'(x,y)=\dotx$, cioèla derivazione rispetto ad x mi uccideva la dipendenza da x e da y. Per y nessun dubbio e ci sono. Per x, meno; poiché se ad esempio avessi $x=x^2$ mi riaggancerei al dubbio 2, sarebbe come derivare $(d(2x))/(d(x^2))$ che ha una dipendenza da x, quindi in generale non capisco perché muoia $\dotx$
Come scrivevo potrei fare infatti..

2) Però se volessi calcolare: $(d(2x))/(d(x^2))$ potrei scrivere $(d(2sqrtx^2))/(d(x^2))$ e chiamando $k=x^2$: $(d(2sqrtk))/(dk)$ derivata ora fattibile. Eppure $2x$ è la derivata di $x^2$, quindi avrei dovuto considerarla slegata e dire che faceva zero come nel caso 1)

Correggo subito il testo nella parte sbagliata, sperando di fare cosa gradita nel tenere in ordine il vostro ottimo forum anche per futuri lettori.

[dissonance]

In queste cose è sempre meglio introdurre un nuovo simbolo: \(y=x^2\). Così la regola della catena si può scrivere correttamente alla maniera dei fisici:
\[
\frac{df}{dx}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=2\sqrt y \frac{df}{dy}.\]
Chiaramente qui si intende che \(x\ge 0\); se \(x\) dovesse poter cambiare di segno, ci sarebbe da fare attenzione a \(\sqrt y\).

Quanto a \(\dot x\)... non sei il primo a confonderti con queste cose. Il libro "Applied differential geometry" di Burke inizia proprio con questa dedica:

To all those that, like me, have wondered how in hell you can change \(\dot x\) without changing \(x\).

Infine, una nota personale:

...uccideva la dipendenza... muoia \(\dot x\)... scannamenti... morti ammazzati...

Non mi piace molto questo linguaggio, non aggiunge niente ed è impreciso, comunque sono gusti.

[albalonga]

Ciao dissonance, grazie per la risposta. Ho ancora dei dubbi che spero avrai tempo e voglia di aiutarmi a colmare

Innanzitutto, scusa per il linguaggio volevo solo solo render più chiaro il dubbio, in secondo lugo come osservi immaginavo il caso $x>=0$.

Venendo a noi:

\[
\frac{df}{dx}=\frac{df}{dy}\frac{dy}{dx}=2\sqrt y \frac{df}{dy}.\]

Spero non ti spazientirai, perché so che sono cose facili, ma sono negato e vorrei capire bene, quindi ripeto passaggio per passaggio quel che ho capito:

In pratica tu hai fatto

$(d(2sqrtx^2))/(dx)=(d(2sqrty))/(d(y))(dy)/(dx)=(d(2sqrty))/(d(y))2sqrtx=1/(sqrty)2sqrtx=1/x*2sqrtx=2/sqrtx$

Tuttavia io in realtà volevo derivare $f(x)=2x$ rispetto a $x^2$, ovvero $2sqrtx^2$ riseptto ad x al quadrato e non $2sqrtx^2$ risepetto ad x (come faccio con la catena che ho scritto passo-passo sopra).
Riassumendo in formule mi pare tu abbia fatto $(d(2sqrtx^2))/(d(x))$ ma io volevo fare: $(d(2sqrtx^2))/(d(x^2))$ cioè applicando la sostituzione $y=x^2$ è come se volessi derivare $f(y)=2sqrty$ rispetto a $y$, ovvero nella notazione $(d(2sqrty))/(d(y))=1/sqrty=1/sqrt(x^2)=1/x$ ,no?
Credo proprio di non aver capito i tuoi pasaggi


Per il secondo dubbio, se una volta capito quanto sopra dimostro che posso derivare $x(t)=2t$ rispetto a $t^2$, allora perché
$f(x,y)=\dotx+x+y$ -> $f'(x,y)=\dotx$ in realtà $\dotx$ potrebbe essere il caso della derivazione di cui sopra, e perché nella derivata si comporta come fosse una costante?
Non riesco a capirlo

Grazie ancora.

[dissonance]

Facciamolo passo passo. Abbiamo la funzione
\[
f=2x,\qquad x\ge 0, \]
e introduciamo una nuova variabile
\[\tag{1}
y=x^2,\qquad \text{quindi }x=\sqrt y.\]
Ora, la regola della catena ci dice che, in generale,
\[\tag{2}
\frac{df}{dx}=\frac{dy}{dx}\frac{df}{dy}.\]
Per usare questa formula, per prima cosa dobbiamo calcolare \(\frac{dy}{dx}\); è chiaro che \(\frac{dy}{dx}=2x\), ma dobbiamo ora esprimere questo risultato in funzione di \(y\). Usando (1) otteniamo che
\[
\frac{dy}{dx}=2\sqrt y.\]
Ora tocca a \(\frac{df}{dy}\). Questa scrittura significa che, per prima cosa, dobbiamo esprimere \(f\) come funzione della \(y\). Usando di nuovo la (1) troviamo che
\[
f=2\sqrt y.\]
Derivando, vediamo che \(\frac{df}{dy}=1/\sqrt{y}\), e inserendo tutti questi risultati nella (2) troviamo che
\[
\frac{df}{dx}=2\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}=2, \]
come è giusto che sia.

Quanto a \(\dot x\), sicuramente lì si intende come una variabile indipendente. Ma devi fare un esempio più concreto perché non capisco molto di quello che hai scritto.

[albalonga]

Ok credo di averti portato fuori strada sul dubbio per quello non ci intendevamo, in realtà il mio dubbio non era tanto sulla catena in sé. Quella l'ho abbastanza capita mi pare.

Il mio dubbio era più "semplice", ovvero mi chiedevo: ma se io avessi una funzione $f(x)$ che è la derivata di una qualche $g(x)=x^2$, è possibile definire una derivata di f(x) rispetto a g(x), cioè derivare $2x$ rispetto a $x^2$.

Il risultato di questa ipotetica derivata sarà: $(d(fx))/(d(g(x)))=0$? Oppure avrà un qualche valore?

Per questo compivo la sostituzione:

2) Però se volessi calcolare: $(d(2x))/(d(x^2))$ potrei scrivere $(d(2sqrtx^2))/(d(x^2))$ e chiamando $y=x^2$: $(d(2sqrty))/(dy)$ derivata ora fattibile. Eppure $2x$ è la derivata di $x^2$, quindi avrei dovuto considerarla slegata e dire che faceva zero come nel caso 1)

Ma non voleva questa essere la regola della catena sbagliata, quanto un tentativo personale (e forse errato) di risposta alla domanda.

Spero di aver chiarito meglio, e grazie per le tue risposte limpide e sempre utili