Problema di Cauchy e successione

Questo esercizio l'ho risolto, ma vorrei capire perché accade una cosa
Consideriamo la funzione \( u \) soluzione dell equazione
\[ \left\{\begin{matrix}
u'=u\\
u(0)=1
\end{matrix}\right. \]
Calcolare esplicitamente la successione iterata definita da
\( u_0 :=t \rightarrow 1 \) e \( \forall (j,t) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{R}_+ \); \[ u_j(t):=u(0) + \int_{0}^{t} f(s,u_{j-1}(s))ds \]
Allora la successione è data da
\( u_j(t) = \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{t^k}{k!} \)
Infatti
\( u_0(t) = 1 \), \( u_1(t) = 1 + \int_{0}^{t} 1 ds = 1 + t \), \( u_2(t) = 1 + \int_{0}^{t} 1+t ds=1+t + \frac{t^2}{2} \),.. eccetera

"Guarda caso" \(\lim\limits_{j \to \infty} u_j= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} = e^t \) che è la soluzione del problema di Cauchy iniziale.

Mi chiedevo il motivo per cui accade questo (evidentemente non è un caso ).
Inoltre mi domandavo anche, per voi è chiaro che \( f(s,u_{j-1}(s))=u_{j-1}(s) \) ? Ci ho messo un po' a capire che doveva essere così. Come mai? Viene per caso dal fatto che nel problema di Cauchy \( u'(t) = u(t)=f(t,u(t)) \) ? Se ad esempio avessimo \( u'(t) = u(t) + t = f(t,u(t)) \) allora anche nell integrale dovrei sostituire \( f(s,u_j(s))ds =(u_j(s) + s )ds \) ?
Inoltre non capisco bene nemmeno la notazione \( u_0 := t \rightarrow 1 \).

Ciao, hai mai visto la dimostrazione del teorema di Cauchy Lipshitz? Secondo me potrebbe essere una buona idea darci un’occhiata, vedrai che le tue domande troveranno risposta!

Al resto delle domande la risposta è si. L'equazione \(u'=u\) corrisponde a \(f(t, u)=u\). Quanto a \(t\mapsto 1\), è una notazione formalmente molto precisa per indicare la funzione costante \(1\).

@3m0o: Si chiamano iterate di Picard, da Émile Picard (1856 - 1941) matematico francese che ha dimostrato il teorema che citava Bremen con questo metodo.