pilloeffe ha scritto:Ciao IanGillan93,
Hai provato facendo uso della solita ricorrente relazione $ arctan(t) + arctan(1/t) = \pi/2 \qquad \AA t > 0 $ $ >= |arctan(x+n)+arctan((x^2n^2)/(1+n))| $
Innanzitutto grazie di cuore per avermi fatto conoscere questa relazione che ignoravo completamente
Non mi è servita per questo esercizio perché non sono riuscito ad applicarla, ma mi è servita per un altro!
dissonance ha scritto:Io invece ti consiglio di trattare i due addendi separatamente. Poi vediamo come incollare i risultati.
(Forse ti ho già detto che il tuo disco "Born again" con i Black Sabbath mi piace molto, anche se tutti lo considerano male. ;—) )
Ho deciso di seguire il tuo suggerimento e credo di essere arrivato ad una conclusione (dopo circa 2 giorni di riflessioni... ahimè!).
Dividerò la risoluzione in due casi: uno per ogni intervallo citato sopra.
$ (i)\ (-\infty,alpha] $ con $alpha <0 $
Devo calcolare $ lim_(n -> +infty) text(sup)|f_n(x)-f(x)| $ .
Ho che $ text(sup)|f_n(x)-f(x)|=||arctan(x+n)+arctan((x^2n^2)/(1+n))-pi||_infty >=$
$ >= |arctan(x+n)+arctan((x^2n^2)/(1+n))-pi| >= $ (questo è valido $ AA x $ per definizione di estremo superiore)
Considero $ x=-n $ e ottengo che $ >=|arctan(0)+arctan((n^4)/(1+n))-pi| $ che non tende a 0.
Pertanto non abbiamo convergenza uniforme in $ (-\infty,alpha]$con $ alpha <0 $ .
Possiamo quindi restringerci a $ [-M,alpha] $ con $alpha <0 $ e $-M<alpha$.
(Ho provato a calcolare le cose in questo nuovo intervallo e ho convergenza uniforme
)
$ (ii)\ [alpha,+\infty) $ con $alpha >0 $
Ho che $ text(sup)|arctan(x+n)+arctan((x^2n^2)/(1+n))-pi| =$
Poiche la tangente è limitata da $pi/2$, la quantità dentro al valore assoluto è $<=0$ quindi
$ = text(sup) (pi- arctan(x+n)-arctan((x^2n^2)/(1+n)))$
A questo punto uso il consiglio che mi avete dato e osservo che entrambe le funzioni con l'arcotangente sono decrescenti nell'intervallo considerato.
Pertanto l'estremo superiore sarà in corrispondenza di $alpha$.
Quinti ottengo
$ text(sup) (pi- arctan(x+n)-arctan((x^2n^2)/(1+n))) =$ $ lim_(x -> alpha)(pi- arctan(x+n)-arctan((x^2n^2)/(1+n))) $ che tende a 0 per $n->+infty$ e quindi ho convergenza uniforme!
Spero di aver fatto correttamente e di non aver fatto troppa confusione con le formule