Convergenza puntuale e uniforme di successione di funzioni con arcotangente
Inviato: 16/05/2019, 00:24
Salve a tuti ragazzi, vi chiedo una mano con il seguente esercizio:
Determinare gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme per la successione di funzioni
$ f_n(x)=arctan(x+n)+arctan((n^2x^2)/(1+n)) $
Innanzitutto ho calcolato il limite puntuale ottenendo che la mia successione converge puntualmente a $ f(x)=\{(pi, se x!=0),(pi/2, se x=0) :} $
Quindi, poiché la successione di funzioni è continua e converge puntualmente ad una funzione discontinua, di certo non potrà essere uniformemente convergente in R.
Pertanto dovrò restringermi agli intervalli $ (-\infty,alpha] $ e $ [beta ,+\infty) $ con $ alpha >0 $ e $ beta >0 $.
A questo punto dovrei calcolare
$ lim_(n -> +infty) text(sup)|f_n(x)-f(x)| $ negli intervalli che ho specificato prima.
Ho provato a fare sia la derivata, sia a utilizzare il fatto che l'arcotangente sia limitata da $pi/2$, ma purtroppo non sono riuscito a venirne a capo
Qualcuno può darmi una mano?
Vi ringrazio molto!
Determinare gli insiemi di convergenza puntuale e uniforme per la successione di funzioni
$ f_n(x)=arctan(x+n)+arctan((n^2x^2)/(1+n)) $
Innanzitutto ho calcolato il limite puntuale ottenendo che la mia successione converge puntualmente a $ f(x)=\{(pi, se x!=0),(pi/2, se x=0) :} $
Quindi, poiché la successione di funzioni è continua e converge puntualmente ad una funzione discontinua, di certo non potrà essere uniformemente convergente in R.
Pertanto dovrò restringermi agli intervalli $ (-\infty,alpha] $ e $ [beta ,+\infty) $ con $ alpha >0 $ e $ beta >0 $.
A questo punto dovrei calcolare
$ lim_(n -> +infty) text(sup)|f_n(x)-f(x)| $ negli intervalli che ho specificato prima.
Ho provato a fare sia la derivata, sia a utilizzare il fatto che l'arcotangente sia limitata da $pi/2$, ma purtroppo non sono riuscito a venirne a capo
Qualcuno può darmi una mano?
Vi ringrazio molto!