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$int int (1/(x^2+1))dxdy$ dove il dominio è contenuto nel IV quadrante al di sotto del grafico di $f(x)=x^2-1$ e al di sopra della retta tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa di $x_0=1$

allora la retta tangente me la ricavo facendo $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=2x-2$

quindi ora sapendo che la $0<=x<=1$ e la $y$ la faccio variare tra le curve...$2x-2<=y<=x^2-1$ è giusto ?

Sì, un disegno del dominio aiuta. $D= {(x,y) \in \mathbb{R}^2: x \in [0,1] , 2x-2 \leq y \leq x^2-1 }$

Ciao lepre561,

L'integrale doppio proposto è molto semplice, dopo qualche passaggio dovresti riuscire ad ottenere facilmente il risultato:

$ \int\int_D 1/(x^2 + 1) \text{d}x\text{d}y = 1 - ln(2) $

ove $D $ è il dominio che ti ha già scritto feddy.