Esercizio max e min funzione di due variabili

[Elia1999]

Salve, l'esercizio è il seguente :

Determinare il max e il min di \(\displaystyle f(x,y)=xy^2 \) sul dominio \(\displaystyle D=\{(x,y) \in R^2 : (x^2)/4+y^2 \leqslant 1\} \)

Prima di tutto ho disegnato il dominio che non saprei come farvi vedere. Dopo ho imposto che \(\displaystyle \bigtriangledown f=0\) e risulta che \(\displaystyle \bigtriangledown f=0 \Longleftrightarrow (x,y)=0 \). Ora siccome so che per Weirstrass la funzione ammette massimo e minimo assoluti ma con il metodo di prima non li ho trovati come procedo ? Il professore in un caso simile era andato a vedere i punti critici sul bordo del dominio ma nel suo caso aveva domini diversi dove c'erano più equazioni io invece ne ho una come faccio ?

[pilloeffe]

Ciao Elia1999,

Il professore in un caso simile era andato a vedere i punti critici sul bordo del dominio

Beh, fai la stessa cosa...
Comincerei con l'osservare che per la funzione $z = f(x,y) = xy^2 $ proposta si ha $f(-x, y) = - f(x,y) $ e $f(x, - y) = f(x,y) $
Poi controllerei cosa succede nei vertici dell'ellisse $x^2/4 + y^2 = 1 $, cioè nei punti $A(2,0) $, $B(0, 1) $, $ A'(-2,0) $ e $B'(0, -1) $: per tutti si trova lo stesso valore della funzione $z = 0 $ che si trova per il punto $O(0,0) $
Infine, osserverei che da $x^2/4 + y^2 = 1 \implies y^2 = 1 - x^2/4 $ che si può sostituire nella funzione proposta ottenendo la funzione della sola variabile $x$ seguente:

$z = z(x) = x(1 - x^2/4) $

[Elia1999]

Ok ho fatto nel seguente modo :

\(\displaystyle y^2=1-\frac {x^2} {4} \) , \(\displaystyle x \in [-2,2] \)
\(\displaystyle f(x, \sqrt {1- \frac {x^2} {4} })=x- \frac {x^3} {4} \)
\(\displaystyle h : f'(x, \sqrt {1- \frac {x^2} {4} })=1-\frac {3} {4} x^2 \)
\(\displaystyle h=0 \Longleftrightarrow x=\pm \sqrt { \frac {4} {3} }\) , \(\displaystyle A=(\sqrt \frac {4}{3}, \sqrt \frac {2}{3}) \) , \(\displaystyle B=(-\sqrt \frac {4}{3}, \sqrt \frac {2}{3}) \)

\(\displaystyle f(A)= \sqrt \frac {4}{3} * \frac {2}{3} > 0\) , \(\displaystyle A \) punto di max assoluto
\(\displaystyle f(B)= -\sqrt \frac {4}{3} * \frac {2}{3} < 0\) , \(\displaystyle B \) punto di min assoluto

E ovviamente il punto iniziale \(\displaystyle (0,0) \) trovato all'interno del dominio che è un punto di sella. Giusto il procedimento ?

[pilloeffe]

Non ho capito il significato di quell'$h$ che hai usato... Io avrei semplicemente studiato il segno della derivata prima:

$z'(x) >= 0 \implies - sqrt{4/3} <= x <= sqrt{4/3} $

Poi per $x = \pm sqrt{4/3} $ si ottengono due valori di $y $, cioè $ y = \pm sqrt{2/3} $
Da ultimo, avendo chiamato con $A $, $A' $, $ B $ e $ B' $ i vertici dell'ellisse, avrei chiamato diversamente gli altri $ 4 $ punti critici, tipo $C $, $C' $, $ D $ e $ D' $