Criterio di Lebesgue per integrazione

[Silent]

Secondo me in questo elaborato c'è un errore, alla fine:

https://www.math.ru.nl/~mueger/Lebesgue.pdf



Le definizioni sono:

$$S_\epsilon:=\{x\in [a,b]|\omega(f;x)>\epsilon>0\} $$

dove \(\displaystyle \omega(f;x) \) è l'oscillazione di $f$ in $x$, definita come limite partendo dalla definizione di oscillazione in un insieme \(\displaystyle \omega(f;E):=\sup_{x_1,x_2\in E}|f(x_1)-f(x_2)| \):

$$ \omega(f;x) :=\lim_{\delta \to 0^+}\omega (f;U_{[a,b]}^\delta (x))$$

con \(\displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \) intorno di $x$ in $[a,b]$ ampio $\delta$.


Lo vedete anche voi un problema in quella dimostrazione o lo vedo solo io? Non ha tenuto conto del fatto che passando al limite il \(\displaystyle > \) diventa \(\displaystyle \geq \), il che compromette tutta la dimostrazione.

[Bremen000]

Secondo me hai ragione. Basta ridefinire $S_{\epsilon}$ con il $\ge$ e non con il $>$, come fanno ad esempio qua, proposizione 2.5. Poi

[...] con \( \displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \) intorno di $ x $ in $ [a,b] $ ampio $ \delta $. [...]

qua devi decidere una forma per \( U_{[a,b]}^\delta (x) \), perché se no il limite non puoi farlo.

[Silent]

Grazie per il riscontro @Bremen000, domani leggo il link e ti faccio sapere.

Intanto, riguardo a questo:

qua devi decidere una forma per \(\displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \), perché se no il limite non puoi farlo.

intendi dire che dovevo specificare che \(\displaystyle U_{[a,b]}^\delta (x) \) è centrato in $x$ (ad esempio)? Altrimenti \(\displaystyle \omega (f;U_{[a,b]}^\delta (x)) \) non sarebbe proprio una funzione di \(\displaystyle \delta \)?
Se era questo, hai perfettamente ragione.
Se volevi dire altro, illuminami

[Bremen000]

Volevo dire esattamente quello

[gugo82]

Mezza nota terminologica:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Questo teorema si chiama teorema di Vitali & Lebesgue.
La Proposizione 1 è il criterio di Riemann.

[Silent]

Grazie.

@Bremen000 credo di essermi sbloccato, ti ringrazio. Magari se esce qualche altro casino riprovo a rompere le scatole qui, ma spero di no dai.

[Bremen000]

Tranquillo, è sempre un piacere!